Écrouer est un verbe utilisé dans le langage courant pour « l’acte de mettre en prison ». Un exemple typique :

Ils ont été écroués.

Une recherche rapide sur le web ne semble pas suffire pour trouver une définition qui inclut un sens similaire pour « écrous »… Ah en fait si, voir la définition de écrou sur Wikipedia… Il s’agit du terme employé dans le monde judiciaire pour désigner l’acte (procès-verbal) qui accompagne une incarcération.

Au départ, écrou (sens 2 dans le TLF) a la même étymologie qu’écrit, il me semble. (Il faut remonter assez loin.) Un écrou, c’est un morceau de papier (ou de ce qui en tient lieu à l’époque, un parchemin, voire peut-être un lambeau d’écorce). En français moderne, le mot s’est spécialisé dans le sens d’un morceau de papier sur lequel on note les entrées et sorties d’une prison.
La première édition du Dictionnaire de l’Académie française définit le mot ainsi :

Article du registre des emprisonnements, contenant le jour & la cause pour laquelle on a mis quelqu’un en prison. Il faut lever vostre escrou & le joindre à vostre requeste. L’arrest porte que son escrou sera rayé et biffé.
Il se dit aussi, Des rolles de la despense de bouche de la maison du Roy. Les escrous ne sont pas encore signez, arrestez.

À noter qu’il n’y a aucun lien étymologique avec le sens plus courant d’écrou que l’on monte sur une vis, même si le rapprochement sémantique (un écrou maintient une vis et une pièce en place) a peut-être contribué à la spécialisation du mot.

Le registre d’écrou (plus courant, je crois, que registre des écrous) est donc le cahier dans lequel sont notés les emprisonnements. Plus généralement, c’est la base de données des prisonniers.

Le mot écrou n’est pas du vocabulaire courant. Par contre, on utilise plus usuellement le verbe écrouer dans le sens d’emprisonner.