Parce que lorsqu’un article se termine par une voyelle et que le mot qu’il précède commence par une voyelle, on réalise une élision: de devient d’.

On dit donc: d’yeux à la place de de yeux (qui est d’ailleurs incorrect, on devrait indiquer “des yeux” et dans ce cas, comme l’article des se termine par un s, il n’y a pas d’élision).
Néanmoins, problème “des” yeux est grammaticalement correct mais impropre dans l’usage, il faut lui préférer l’article défini “aux”: problème aux yeux.

Autres exemples:
– L’arbre et non le arbre.
– L’oeil et non le oeil.
Mais la chambre et non l’chambre.

La prononciation est en phonétique la suivante: jø “i eu”

La question de la règle de l’élision devant les voyelles est une question de phonétique ; la graphie s’adapte à la phonétique. Il est plus facile, tout au moins pour certains, d’éviter deux voyelles consécutives; le problème avec y est que si c’est une voyelle graphique, le son qui y correspond (/j/, jod) n’est ni voyelle ni consonne ; la même réalité se retrouve pour w. Cela est particulièrement bien reconnu en anglais. Il a été reconnu dans les deux langues que l’on devait traiter y comme une consonne pour ce problème euphonique des voyelles juxtaposées et donc on devrait dire « de yeux » ; on dit donc comme suit ;

• de yaourt, de yoghourt, un problème de yard, une course de yachts, je n’accepte pas de yens, il n’y a pas de yoyos dans ses poches, etc

« Yeux » est une exception, ce qui montre, soit dit en passant, que ce problème de voyelles adjacentes est assez relatif. Comme mentionné dans une autre réponse on dit plutôt « problème aux yeux » mais on aura quand même quelque cas où cette combinaison se trouve, telle que « une paire d’yeux » et la prononciation est la même que celle de « paire dieu ».