En France, dire “un peu meilleur” ou “un peu pire” sera compris par votre interlocuteur.
Toutefois, “un peu pire” est peut-être moins (voire pas) utilisé, j’utiliserais plutôt “un peu moins bon” ou “un peu moins bien” selon le contexte.

“Un peu meilleur” est communément utilisé, il existe aussi “un peu mieux“, que j’utiliserais dans un contexte moins formel.

« Un peu meilleur » est correct. « Un peu pire » devrait aussi l’être, mais en genéral on utilise soit « un peu moins bon » soit « un peu plus mauvais », je ne sais pas exactement pour quelle raison¹.

L’anglicisme dont parle ton amie est probablement lié aux circonstances dans lesquelles il est possible d’utiliser de telles comparaisons. Notamment pour dire « It’s better like this » à propos de la situation actuelle, il faut dans ce cas utiliser « C’est mieux comme ça ». C’est la même différence que Bon vs Bien.

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^{1. Pire est généralement plus insistant que moins bon, ce qui a un effet opposé à un peu, et c’est probablement pour cela que les deux ne sont pas utilisés ensemble.}