L’expression vient d’une mésalliance lorsqu’un noble épouse une roturière.

Elle remonte au temps où la noblesse régnait en France, donc bien avant 1900.

Un chaud-lapin est un homme qui n’arrête pas de conquérir la gente féminine.

Donc un lapin naturellement agité et primesautier est attiré par dame lapine, il court à l’échec avec une carpe qui a la réputation d’être muette et indolente.

C’est donc un mariage contre nature d’espèce animale et contre nature de tempéramment.

On trouve deux sources¹ indiquant 1934 pour la locution « mariage de la carpe et du lapin » (TLFi, et ici par exemple) :

− Loc. Mariage de la carpe et du lapin. Alliance impossible,
association de deux réalités incompatibles. Il est occupé à des
recherches nobiliaires visant à découvrir lequel des deux se mésallie,
dans le mariage de la carpe et du lapin (Montherl.,
Célibataires, 1934, p. 899).

[ Trésor de la langue française informatisé – TLFi à « mariage »]

J’ai trouvé la réponse suivante où on cite La puce à l’oreille : anthologie des expressions populaires avec leur origine (une des sources du site de l’extrait précédent; cet auteur est aussi l’auteur de la deuxième source que j’ai présentée pour 1934); on y réfère entre autres à Alphonse Karr disant :

On se rappelle ce charlatan qui disait : “J’ai guéri le roi du Maroc,
à preuve voici sa peau”. Et cet autre, qui annonçait l’exhibition du
fruit des amours d’une carpe et d’un lapin, disant aux spectateurs :
“Voici le lapin dans cette cage et la carpe dans ce baquet, le père et
la mère; quant à l’enfant, il est pour le moment au jardin des
Plantes, où M. de Lacépède, grand animalier de France, m’a prié de le
faire conduire”.

[ Alphonse Karr, Bourdonnements, 1880. ]

La référence à M. de Lacépède permet de situer l’origine de l’anecdote à l’époque de la Restauration (1814-1830). L’anecdote souligne l’incongruité extraordinaire (similairement au latin asinus in tegulis de Pétrone, par exemple, c’est-à-dire « un âne sur un toit »). On y parle de plus de gastronomie (sauge se mariant avec le porc), et de religion (jour maigre par opposition à jour gras). La réponse mentionne finalement que l’expression sortie du contexte de l’extrait n’a en effet commencé à circuler qu’à la fin du 19e.

Quant à une variante du poème, présentée en commentaire, où on indique 1854, on note au bas de la page que le poème original ne contenait pas de référence finale au mariage du lapin et de la carpe mais bien à : / Homme, cette histoire est la nôtre : / A chaque être son élément ! / A chaque âme son aliment ! / Ce qui fait vivre l’un fait souvent mourir l’autre. /. Par ailleurs rien de ceci n’empêche que d’autres associations aux animaux que sont la carpe et le lapin se soient aussi développées.

_{1. Dans la question, on présente une source qui dispose que :}

_{Cette expression appliquée aux humains servait de métaphore au couple
composé d’un noble et d’une roturière. Pour y pallier, le noble se
voit dans l’obligation de donner la main gauche à l’épouse pendant la
cérémonie, signifiant par ce geste qu’il ne transmettait son rang ni à
sa femme ni à leur progéniture. Il est à signaler que si le noble
donne sa main gauche, c’est parce que l’alliance normale entre deux
personnes de même rang se mettait à la main droite.}

_{On n’indique aucunement sur quelle source on s’appuie pour formuler une telle affirmation (voir généralement sources de cette source). On n’a pas démontré que le mariage de la main gauche (1680) est relié à la locution dont il est question ici; ni le TLFi ni Rey/DHLF n’en parlent.}