Je vois ce que tu veux dire, en terme de logique pur c’est correct mais non, “il ne faut pas” ne peut pas avoir le sens de “il n’est pas obligatoire de“.

Pourtant, on pourrait faire la distinction entre “il ne faut pas [verbe]” et “il faut ne pas [action]“, mais ce dernier n’est jamais utilisé et le premier a toujours le sens de l’interdiction.

Par contre je ne suis pas d’accord avec le fait que l’anglais soit différent, la négation de l’obligation ou du conseil (musn’t et shouldn’t par exemple) fonctionne de la même façon.

J’imagine que selon toi, “You must not run” est interprété comme :

“You must (not run)

et pas comme :

“You (must not) run“

Et que la négation est donc appliquée au verbe et non à l’auxiliaire, mais c’est très disctuable. Pour moi la contraction et le fait qu’on puisse utiliser l’auxiliaire et la négation seuls (“You shouldn’t!“) indiquent fortement que la négation s’applique à l’auxiliaire. Ou peut-être tu parlais seulement de “have to/ don’t have to” ?

Vos représentations du problème par des symboles de la logique mathématique sont erronées ; il n’est absolument pas question d’une conjonction de « falloir » avec un verbe à l’infinitif. De plus, un verbe à l’infinitif ne peut en aucun cas être une proposition ; de sorte qu’un assemblage de mots puisse être considéré comme étant une proposition dans un calcul il est nécessaire que l’on sache qu’une valeur de vérité peut être attachée à l’assemblage, c’est à dire que l’on sache qu’il est possible de dire si la proposition est soit vraie soit fausse ; si on n’a qu’un verbe à l’infinitif (« parler » par exemple), on ne peut pas dire de cela que ça peut être vrai ou faux : ça n’a pas de valeur de vérité.

La phrase « Jean parlait à Pierre hier soir. » est une proposition (du point de vue mathématique) parce que l’on peut décider si c’est vrai ou faux.

Le symbole de négation logique, en tant que connecteur logique se traduit par l’introduction de la négation grammaticale dans la proposition, mais ce n’est pas cette négation ;

Vous pouvez écrire ceci, symboliquement ;

¬(Jean parlait à Pierre hier soir.) <===> Jean ne parlait pas à Pierre hier soir.

Ceci n’a pas de sens en logique ;

Jean ¬(parlait) à Pierre hier soir. <===> Jean ne parlait pas à Pierre hier soir.

En prenant un verbe, « parler », ce que vous expliquez revient à ceci, en marquant les étapes au moyen de votre symbolisme en erreur mais qui correspond à un état de choses exact;

• (T ∧ A)__ Il faut parler. Vous comprenez « Il faut » comme l’expression d’une nécessité, ici celle de parler.

• (¬T) ∧ A__ Il ne faut pas parler. Vous comprenez « Il ne faut pas » comme l’expression d’un manque de nécessité, ici celle de parler. Cela revient à dire qu’il n’y a pas une nécessité de parler et donc que l’on peut parler ou ne pas parler. C’est une erreur, mais elle est logique. Le même problème existe dans le contexte d’une tournure personnelle avec « devoir » : « Vous ne devez pas parler. ». La négation grammaticale de « falloir » n’existe pas vraiment. Ces verbe modaux correspondent à l’anglais « must » ; la différence est qu’en anglais il n’y a pas de particule explétive, laquelle, en français, donne l’impression que la négation porte sur « falloir ». Il faut considérer dans ce cas que la négation porte sur le verbe à l’infinitif. Remarquez qu’en anglais on n’utilise pas l’auxiliaire de négation, « do », et l’on dit « You must not speak. ». D’ailleurs, en Français, il est correct de dire « Il faut ne pas parler. » (ngram). C’est la seule façon de comprendre cette négation. Un verbe à l’infinitif se construit sans problème avec une négation ;

Ne pas parler est parfois difficile.

• T ∧ (¬A)__ La présente interprétation est donc la seule possible.