Je ne pense pas qu’il y ait une quelconque figure de style dans cette phrase. Le roi mourant donne bel et bien à son successeur de la salive, qui elle, en revanche, a un aspect symbolique.

Peut être un pléonasme, puisque “sa salive” devrait suffire.

Cependant rajouter “sa propre salive” insiste bien sur le fait qu’il s’agit de la sienne, et pas celle du sucesseur, je suppose.

Le terme “propre” devant un “nom” permet d’insister sur la singularité du “nom” à effectuer l’action. Autrement dit, il n’y a aucune autre instance du même type/nature/genre du “nom” exécutant ou participant à l’action faite par le possesseur du “nom”.

Exemple 1: J’ai vu un homme tuer un autre par ses propres mains.
Cela signifie que le tueur n’a pas utilisé un(e) autre outil/arme/main d’une autre personne pour faire l’action.

Exemple2: Je t’ai élevé avec mon propre argent.
Cela peut signifier que le parent a dépensé sont argent et non pas de l’argent volé ou l’argent d’une autre personne.

Exemple3: Il l’a vu de ses propres yeux.
Cela signifie que la vision a été effectuée à l’œil nu non par à travers des lunettes ou une vitre par exemple.