La règle que vous évoquez est juste mais pas toujours respectée (voire même de moins en moins respectée). Dans le cas précis de cette chanson, mais aussi en général dans les chansons de Brassens, il s’agit probablement d’une adaptation pour que la métrique du vers soit en accord avec la métrique musicale.

Il s’agit effectivement d’une faute, et pour être correct, Brassens aurait bien dû dire “La première fille qu’on a prise dans ses bras”.

Il est possible que Brassens ait choisi de dire “pris” pour des raisons de musicalité. Toutefois on peut douter qu’il s’agisse d’une faute intentionnelle. On trouve en effet des enregistrements postérieurs où Brassens a corrigé l’erreur.

On a par exemple ici un enregistrement live de 1955 ou 1956, et ici un live qui date apparemment de 1979, où on entend Brassens dire “prise”.