La préférence donnée au subjonctif dans ton exemple n’est pas une question de paraître plus ou moins formel.

Dans ton exemple l’usage du subjonctif (imparfait) peut sembler (à certains) un peu vieilli mais, traditionnellement, c’est l’usage pour, entre autres, marquer une nuance d’obligation, ce qui est explicitement le cas.

il n’y avait pas de jour où l’on n’était obligé, la phrase reste très correcte et ne fera aucun doute à l’écrit. Mais… à l’oral… je préférerai pour ma part l’imparfait du subjonctif en raison de la négation on n‘était qui pourrait être confondue avec une liaison on-était et, disparaissant, donner, à l’oreille, une phrase assez bancale.

EDIT : On notera que, dans le contexte d’obligation, l’usage du subjonctif est resté très vivant pour exprimer poliment un impératif.

Si le verbe de la principale est à un temps du passé le verbe de la subordonnée se met traditionnellement à l’imparfait du subjonctif. Cependant, dans la langue parlée, il reste convenable d’utiliser le passé du subjonctif et même le présent du subjonctif; c’est en réalité ce que la majorité des personnes éduquées utilisent actuellement dans la langue parlée et même dans la langue écrite.

Il n’y avait pas de jour où le Prophète ne vienne nous rendre visite matin et soir.

Il n’y avait pas de jour où le Prophète ne soit venu nous rendre visite matin et soir.

Cela reste vrai lorsque l’action du verbe de la subordonnée est antérieure à celle du verbe de la principale, alors que traditionnellement on escompte le plus que parfait.

Il n’y avait pas de jour où le prophète avant de nous rendre visite n’eût préparé une gentille et très courte allocution à notre égard. (traditionnel et préférable dans la langue écrite)

Mais, dans la langue parlée les possibilités suivantes (présent ou passé) sont très acceptables.

Il n’y avait pas de jour où le prophète avant de nous rendre visite n’ait préparé une gentille et très courte allocution à notre égard. (très acceptable, opinion personnelle)

Il n’y avait pas de jour où le prophète avant de nous rendre visite ne prépare une gentille et très courte allocution à notre égard. (pas aussi acceptable que le précédent, opinion personnelle)

Would you ever use this kind of thing in spoken French?

Not that much. The sentences you selected are quite far from average day-to-day spoken French.
If we keep the first part of these sentences unchanged, we feel compelled to stick to a literary style for consistency.

But first, here are some attempts at everyday spoken French, losing the point of your question in the process:

La fatigue rendait encore plus pénible le manque de nourriture parce que tous les jours, on devait porter les canots et leur chargement […]

---

Tous les matins et tous les soirs, le Prophète venait chez nous.

If we stay close to the original phrasing, I believe the imperfect indicative is the usual tense:

Il n’y avait pas de jour où il ne fallait pas qu’on porte les canots, (or “pas de jour où on n’avait pas à porter les canots.”)

---

Il n’y avait pas un jour où il ne venait pas chez nous.

The main clause could also be in the present tense instead of the imperfect:

Il n’y a pas un jour où on a pas eu à porter les canots