Avoir le cœur léger does not convey the exact idea you are looking for. It is closer to being “light-hearted”.

Avoir le cœur léger dans le (TLF) :

Être débarrassé de tout chagrin, de toute préoccupation; se sentir heureux.

For macht das Herz Sprünge I’d rather use something very similar involving the beating of the heart.

• mon cœur saute de joie (bondit de joie) à cette idée.

There’s a typically French expression that could be used: battre la chamade (TLF) but it does not necessarily involve joy, only some sort of emotion ; it is very often used in an amorous context.

• J’ai le cœur qui bat la chamade.

Although I would not use it in any circumstance (and not in the context of your question), I feel you should be aware of the expression;

• j’ai le cœur qui fait boum/mon cœur fait boum.

It alludes to Charles Treinet 1930’s song. Not used very often but still you can encounter it occasionally.

Know that our French hearts also leap Be it out of fear or out of joy.

sb’s heart misses a beat

would translate to

le cœur de qqn fait un bond

J’ai entendu sa voix et mon cœur a fait un bond.

Also I thought you might enjoy this little song (Mon cœur bondit de joie)

That said, I would have gone with something very literal

ça fait bondir le cœur

But according to Wiktionary, that means

se dit pour exprimer l’extrême répugnance qu’on a pour un aliment ou pour quelque autre chose qui fait soulever l’estomac

Well, that’s not exactly what we’re trying to express…

Maybe then

ça fait bondir le coeur de joie

That leaves no room for ambiguity

For something less literal, as it’s often not so easy to translate a text word for word

ça vous remplit/(literary:emplit) de joie

As a side note, there is this expression “mettre le baume au coeur” (also: ça réchauffe le coeur) but that’s more like

da wird einer warm ums Herz

An expression that might be too literary here is le cœur se dilate. This dilatatio cordis is a Herzerweiterung. It refers to immense joy, bliss.

Here’s a quote from Jules Renard’s Journal (May 1896) :

• Voyage à Chitry. — De la joie et de la tristesse selon que le cœur se serre ou se dilate, et il ne fait que ça.

Another quote from Flaubert in a letter to his lover, Louise Colet, from August 6 or 7 1846 :

• Adieu, je ferme ma lettre. C’est l’heure où, seul et pendant que tout dort, je tire le tiroir où sont mes trésors. Je contemple tes pantoufles, le mouchoir, tes cheveux, le portrait, je relis tes lettres, j’en respire l’odeur musquée. Si tu savais ce que je sens maintenant!… dans la nuit mon cœur se dilate et une rosée d’amour le pénètre. Mille baisers, mille, partout, partout.