Ce verbe est courant mais pas dans le sens où vous l’entendez, seulement dans son emploi pronominal populaire et familier, c’est à dire le sens « B » du TLFi ;

TLFi B. En constr. pronom., arg. et pop. Se coltiner qqc. Porter quelque chose de lourd.

• Le facteur il avait sa claque… Il se coltinait trois fois par semaine des sacs entiers de manuscrits… (CÉLINE, Mort à crédit, 1936, p. 589).

Au fig. Faire un travail fatigant, pénible ou inintéressant.

• Je me suis coltiné toute la correspondance (DUB. 1967).

quelques exemples de l’autre emploi

A. Emploi trans. Porter une charge sur l’épaule en s’aidant du coltin. Coltiner du charbon de terre (Lar. 19e).
P. ext., fam. Porter quelque chose de lourd, généralement sur l’épaule.

• (TLFi) Quand il apportait un paquet, même lourd et encombrant, il le coltinait tout seul. (G. DUHAMEL, Chronique des Pasquier, La Passion de Joseph Pasquier, 1945, p. 72)

• (TLFi) Même pour les postillons qui coltinaient les bagages, le pourboire était sévèrement interdit. (P. ROUSSEAU, Hist. des transports, 1961, p. 61)

• Les orateurs pénétrèrent dans le moulin à papier tout retentissant du grondement des meules et avisèrent un premier ouvrier qui coltinait des bûches vers une cuve fumante.
  (Revue des deux mondes – Page 23
  https://books.google.fr › books)

• … de nouveaux riches qu’ils sont ont oublié l’aïeul qui courait pieds nus sur la grève, en quête d’une aubaine hasardeuse ou coltinait les lourds ballots de marchandises exotiques. Ils sont de vieux riches maintenant, honorés, cultivés et bien …
  (Revue des cours et conférences – Volume 23 – Page 432
  https://books.google.fr › books)

• A quinze ans, il coltinait un échafaudage de ces panières girondines qui sentent l’estuaille et le potager. A seize ans, il criait les journaux sur l’Intendance. A vingt, frais débarqué à Paris, il entrait comme cycliste dans un grand quotidien.
  (Les enfants du siècle – Page 29
  https://books.google.fr › books)

• Debout à quatre heures le matin, il se précipitait au port, attendait les barques de pêche ou les maraîchers, coltinait ses sacs de provisions, mettait son déjeuner en train, puis, maître Jacques du cinéma, troquait son tablier contre le veston du …
  (Les Oeuvres libres – Page 327
  https://books.google.fr › books)

Le verbe coltiner dans le sens de porter une lourde charge n’est plus très courant. Les réalités qu’il décrivait ont disparu du monde moderne de même que les portefaix, les faquins et les forts des halles.

On voit sur l’image suivante un coltineur (http://www.crcb.org/wp-content/uploads/2016/08/Course-des-coltineurs-Le-Petit-Journal-25-03-1893.jpg). Porte-t-il le coltin qui lui protège le cou et les épaules ? C’est peut-être Jean Lebas, vainqueur du pari des coltineurs en 1893, qui a transporté une charge de 100 kg de Paris à Corbeil (32km) en 14 heures.

Quant au chapeau à larges bords appelé lui aussi coltin dont les forts des halles se couvraient le chef (http://www.paris-a-nu.fr/wp-content/uploads/2012/03/Carte-postale-ancienne-1003-PARIS-Les-Forts-des-Halles1.jpg), on n’en voit plus guère.

C’est se coltiner qui subsiste et avant tout au sens figuré. Se coltiner la vaisselle, ce n’est pas la porter mais la faire, se coltiner les enfants, c’est s’en occuper. Le sens de porter une charge existe toujours et je pense qu’il est largement compris comme dans se coltiner un frigo lors d’un déménagement.

Pour répondre à la deuxième partie de la question, la forme pronominale est largement usitée et unanimement comprise, alors que la forme simple est inusitée et inconnue de la majorité des locuteurs (au moins en France métropolitaine).