(French answer)

En bref, il existe plusieurs sens de « rapprocher », dont tous n’exigent pas la même syntaxe.

Les deux que vous semblez comparer sont les suivants :

1. « rapprocher » Réduire les distances entre deux choses (fig.: réunir deux personnnes).

   La correspondance rapproche Leila et Houston.

2. « se rapprocher de » Devenir plus proche de (fig.: se réunir avec une personne).

   Houston se rapproche de Leila par correspondance. Ils se rapprochent l’un de l’autre par correspondance.

Notez que le premier sens prend un complément d’objet direct. C’est ce complément qui sera remplacé par les dans une phrase comme celle-ci :

La correpondance les rapproche (Leila et Houston).

Mais le deuxième sens ne prend pas leur. Pourquoi ? Parce qu’on ne dit pas « se rapprocher à », mais « se rapprocher de ». Le pronom leur remplace « à eux, à elles, à deux personnes ou objets ».

Le pronom qui convient à « de quelqu’un(e), de quelque chose » est en :

Houston s’en rapproche (de Leila).

Cela dit, StephenJaifséphaneGimenez dit ci-dessous que en ne peut pas faire référence à l’un de l’autre ; on y entendrait plutôt que les deux personnes se rapprochent à une troisième chose. Donc on l’écrira tout simplement sans pronom :

Ils se rapprochent (l’un de l’autre).

Donc le pronom sera les pour le premier sens, et en, ou rien, pour le deuxième.

(English answer)

In short, there are several meanings of « rapprocher », and not all of them involve the same syntax.

The two you seem to be comparing are these:

1. « rapprocher » Reduce the distance between two things (fig. reunite two people).

   La correspondance rapproche Leila et Houston.
   
   _{The correspondence brings Leila and Houston closer together.}

2. « se rapprocher de » Get closer to (fig. reunite with a person).

   Houston se rapproche de Leila par correspondance. Ils se rapprochent l’un de l’autre par correspondance.
   
   _{Houston becomes closer to Leila through correspondence. They become closer to each other through correspondence.}

Note that the first meaning takes a direct object. It’s that direct object that will be replaced by les in a sentence like this one:

La correspondance les rapproche (Leila et Houston).

_{The correspondence brings them together (Leila and Houston).}

But the second meaning doesn’t take leur. Why? Because we don’t say "se rapprocher à", but "se rapprocher de". The pronoun leur replaces "à eux, à elles, à deux personnes ou objets".

The pronoun that matches "de quelqu’un(e), de quelque chose" is en :

Houston s’en rapproche (de Leila).

_{Houston becomes closer to her (to Leila).}

However, StephenJaifséphaneGimenez states below that en can’t refer to l’un de l’autre; instead, it would mean they both approach a third thing. So you can simply write it without a pronoun:

Ils se rapprochent (l’un de l’autre).

They become closer (to each other).

So the pronoun will be les for the first meaning, and en or nothing for the second.

In short: no. The correct phrase is “..qui vont les rapprocher”. If you were in a case-using language, ‘leur’ would be for the datif, while the complement d’objet, direct ou indirect, is the accusatif. “.. qui vont leur faciliter un rapprochement” for instance would be a datif-using formulation.

La bonne locution en français est « Leila et Huston se rapprochent par lettres interposées » → « Les lettres, qui vont les rapprocher » aucune raison d’y mettre “leur” avant rapprocher.

Eventuellement « Leurs lettres, qui vont les rapprocher »