Not anymore. Prime is an archaic way to say premier/première (first) still used in fixed expression like de prime abord (at first glance).

La prime meant "the first one" or "the beginning of" and when referring to a season was indeed used in old French to mean the beginning of spring (along with primver), or the beginning of the year. Occitan, Catalan, Spanish, and Italian all use primavera to express spring, with ver meaning spring in Latin. French still has primevère but only for the flower (primrose). Prime and primver were competing with and have been superseded by printemps, from Latin primus tempus: the first time.

En complément à une autre réponse, bien c’est doublement intéressant parce que prime « est la forme féminine (1119) de l’ancien adjectif prim, avec nasalisation prin, surtout employé dans des locutions (primesaut), outre quelques composés (primerose, primevère, printemps) » (Dictionnaire historique de la langue française, sup. A. Rey, le Robert, 2010). Donc le prin de printemps, c’est prime.

Ensuite on trouve au Godefroy prime signifiant printemps comme tel : « Dieu fet sans fin les nuits apres les jours : l’hyver apres l’automne, apres l’hyver la prime » (Du Bartas). On trouve aussi dans les citations sur l’adjectif prin : « Signeur, ce fu en mai que florissent gardin. Oisillon s’esjoissent contre le doux tamps prin » (Druet Vignon).

Si comme on l’a dit ailleurs on n’emploie plus aujourd’hui prime pour ce printemps comme on le faisait il y 500 ans, on l’utilise néanmoins à chaque fois en composé dans printemps…