« Ses un an » et « ses un ans » sont choquants grammaticalement à cause de la rupture entre le pluriel et le singulier. Le premier l’est quand même beaucoup moins, parce qu’il y a déjà une rupture entre « ses » et « un an » : on ne devrait pas avoir une telle juxtaposition entre l’adjectif possessif et l’article indéfini. En revanche, l’absence d’accord entre un et ans touche aux fondamentaux de la langue.

Je pense que la formule correcte est « sa première année ». On sous-entend toujours qu’on fête la fin des années en question : « sa première année révolue », « ses deux ans révolus », … On peut bien sûr aussi parler de « son premier anniversaire », puis de « son deuxième anniversaire », etc.

Google Ngrams ne trouve pas un nombre significatif d’occurrences de « ses un an », « ses un ans » ou « son un an ». Si l’on fouille un peu plus, le premier exemple de « ses un an » (« Ton oncle a marché le jour de ses un an. ») est rapporté à « Madame A, le 2 septembre 1922 » dans Des Mots à la pensée : essai de grammaire française de Jacques Damourette et Édouard Pichon en 1932. Il semble y avoir une analyse plus poussée dans L’Accord en français contemporain de Paul Hoybe (1944), qui rapproche cette tournure de « vers les midi », « à midi précises » (désapprouvées par Littré qui n’accepte que « sur le midi et non sur les midi »). Il semble que dans des contextes qui appellent une quantité exprimée avec une unité (midi = douze heures, un an = douze mois), on puisse considérer la quantité comme un pluriel même lorsqu’elle est exprimée par une tournure grammaticalement singulière.

Si l’on s’en tient à la sélection de Google Books (attention au gros biais d’observation !), c’est dans les années 1980 que l’expression « ses un an » fait son apparition à l’écrit : « Son plus lointain souvenir doit remonter à ses un an » (Moustapha Raith, Palpitations intra-muros, 1986).

Pour ce qui est de « ses un ans », même si cela se trouve sur des blogs, les seules occurrences sur Google Books semblent être des accidents de numérisation (plus un exercice de grammaire). On peut donc sans risque affirmer que cette tournure est grammaticalement incorrecte.

Même manque de citation fiable pour « son un an », moins choquant grammaticalement cependant. Il reste le problème de la juxtaposition des déterminants. Paradoxalement, « ses un an » est moins gênant de ce point de vue parce qu’il impose un hiatus entre ses et un, alors que dans « son un an », le un appelle à être absorbé par l’autre déterminant.

J’en conclus que, suivant la classification des évolutions de la langue, « ses un an » doit bien avoir atteint au moins le registre relâché, tandis que « son un an » est tout au plus un barbarisme néologique. Quant à « ses un ans », il reste une faute.

Le pluriel français commence à deux. « Les un an » est une hérésie. On ne peut pas dire non plus « les un an et demi », ni « les un million », ni « les un million et demi ». Il faut dire « le million » et « le million et demi ».

En revanche, « mon un an » sonne mal. Il faut donc le dire autrement, si tant est qu’on sache dire quoique ce soit à un an (et pas « un ans »).

Une petite citation de l’ouvrage Les expressions verbales figées de la francophonie: Belgique, France, Québec, Suisse de Béatrice Lamiroy et Jean-René Klein, 2010, ISSN 1272-2235 :

Jamais je n’emploierais ses un an, qui n’est pas du tout français…
Je suis étonné que personne n’ait cité la solution la + logique et parfaitement française : son année ! Par contre ça peut faire penser à l’année entière plus qu’à son échéance… ce qui semble bizarrement ne pas être le cas dans ses deux ans…
Je l’emploie (peut-être un peu par provocation et humour) mais je préfère dire ou écrire « sa première année ».