Il n’y a pas de différence de sens perceptible entre influencer et influer sur, cependant, alors qu’influer sur était plus populaire qu’influencer jusqu’à la fin du XIXe siècle, influencer a largement pris le dessus depuis et ce verbe est aujourd’hui trois fois et demi plus utilisé qu’influer sur:

Source: Ngram

Les deux verbes ont forcément un sens très proche puisque influencer est un dérivé d’influer. Sont-ils synonymes ? Certains voient une différence d’emploi.

Le Dictionnaire historique en langue française nous dit que le verbe influer vient du latin classique influere qui signifie « couler, s’écouler ». On le trouve au XV^e siècle avec le sens d’« exercer une influence (sur qqn. qqch.). Directement dérivé d’influer, le mot influence apparait au XIII^e siècle. Influencer est apparu au XVIII^e siècle au sens d’exercer une « influence sur », il s’emploie aussi (attesté au XIX^e siècle) en parlant d’une chose et est devenu courant dans de nombreux domaines.

Si le sens des deux verbes est très proches (quasi synonymes pour certains) il faut souligner qu’ils ne se construisent pas pareil et que certains francophones sont parfois pris en délit de mauvaise construction. Pour résumer : on influe sur quelque chose/quelqu’un, on influence quelque chose/quelqu’un.

Beaucoup considèrent les deux verbes comme synonymes, mais les avis divergent, et préfèrent réserver l’emploi d’influer aux choses et concepts abstraits.

Extrait de SOQUIJ (Société québécoise d’information juridique) qui résume ainsi (et prend parti) la polémique autour des verbes influer et influencer :

Le verbe influencer doit avoir pour complément un nom désignant une personne ou un groupe de personnes : Cette preuve a influencé le commissaire. Quand le complément est un nom de chose, on emploiera plutôt influer sur: Cette preuve a influé sur la décision du commissaire.
Il est vrai que le Nouveau Petit Robert ne s’embarrasse pas de cette nuance puisqu’il se contente de donner au verbe influencer le sens d’« agir sur » et que l’exemple qu’il offre a pour complément un nom de chose mais, de tous les auteurs consultés, il est le seul à ne pas distinguer les deux verbes. Ne nous laissons pas influencer par les auteurs complaisants !

La BDL est cependant moins catégorique, comme le fait remarquer @ɑ̃sakʁamɑ̃.

À lire sur le blog Parler Français le billet Mauvaises influences.