Si on recherche la fréquence des variantes dans Google ngram c’est evident que, malgré les argumentations excellents par rapport à l’Oklahoma et l’étymologie, «OK» est la forme le plus commune.

Le 9^é dictionnaire de l’Académie française n’a pas les mots «O.K.», «ok», «o.k.», «OK» ni «okay».

On peut trouver d’ autres locutions pour exprimer les sens auquels ils réfèrent.

Par example:

1. D’accord pour exprimer (2) consentement

2. Ça va bien pour exprimer (II.4,5)comportement

If one searches for the frequency of the variants using Google’s ngram-viewer it is clear that, despite the excellent arguments in other posts referencing the state of Oklahoma and etymology, “OK” is the commonest form.

The 9^th edition of the Académie française dictionary does not have the words “ok”, “o.k.”, “OK”, “O.K.”, nor “okay”.

It is possible to find other expressions to express the exact sense in which the catch-all “okay” is used.

For example:

1. D’accord to express (see definition 2) agreement.

2. Ça va bien to express (see definitions II.4, II.5) state of being

L’étymologie réelle de cette expression porte encore confusion à ce que j’ai pu lire en complément des sources que tu cites.

Il semble que le dictionnaire français considère l’origine comme étant “oll korrect”, en ce cas O.K. serait l’orthographe juste puisque l’on fait un sigle de cette expression (différence sigle/acronyme). Comme W.C. dans le temps.

Aparently, etymology of this word is still questionable.

If the origin is an acronym from “oll korrect”, then O.K. seems legit to use. As we used W.C.

L’étymologie O.K. (venant de all correct => all correct => OK) semble partagée également là:

wikipedia qui cite Alain Rey propose également:

En 1840, le terme a été utilisé par des partisans de Martin Van
Buren, élu à la présidence des États-Unis en 1837, et surnommé « Old
Kinderhook » (« le vieux de Kinderhook ») du nom de son village natal.
Un club de soutien s’est créé à New York sous l’appellation de « O. K.
Club » (23 mars 1840).

Libération en 2014: indique, en plus de cette origine:

Les deux lettres apparaissent pour la première fois le 23 mars 1839
dans un journal de Boston : «O.K.», mot symbole de l’Amérique, est
devenu en 175 ans une expression universelle.

C’est le Boston Morning Post, à l’époque le journal le plus populaire
des Etats-Unis, qui le premier utilise dans l’un de ses articles ce
«O.K.» qui fera le tour du monde.

Pour son spécialiste, le professeur d’anglais Allan Metcalf, auteur de
«O.K., l’histoire improbable du plus grand mot de l’Amérique», c’est
l’expression «la plus souvent prononcée ou écrite sur toute la
planète», devant «maman».

Il y a encore l’origine militaire ( Ministère français de la Défense):

Selon une hypothèse, OK trouverait son origine au cours de la guerre
de Sécession qui ravagea les États-Unis de 1861 à 1865.

Après les combats, un officier avait pour mission de noter dans un
rapport le nombre de victimes recensées. Lorsqu’une bataille se
passait sans pertes d’hommes, la mention était de “zero killed” (zéro
mort), expression vite abrégée en “0.K.”. Rapidement, ce “0.K.” devint
synonyme de “tout va bien”.

Par la suite, ce terme militaire est passé dans le langage courant
américain avant de franchir l’Atlantique et d’entrer dans notre
vocabulaire de tous les jours.

C’est donc considéré comme un acronyme (comme cqfd, sgdg, …).

Question plus générale de l’écriture des acronymes:

Les quatre formes ok, o.k. OK, O.K. sont utilisables.

Normalement, il faudrait mettre des points, et plutôt des majuscules.
La forme la plus rigoureuse serait O.K.

Par simplicité, les gens omettent souvent les points, et emploient minuscules ou majuscules: ok ou OK.

Plus précisément pour OK, on trouve surtout ok et OK (rarement O.K. et encore plus rarement o.k. )

voir des explications très détaillées sur ce lien .

• Comme on l’a dit, Larousse donne adverbe et adj. invariable « O.K. » ou « okay ».
• Le TLFi donne « O.K. » en majuscule, loc. adv., et mentionne « okay » en référant à Bonheur d’occasion (G. Roy, éd. Pascal, 1945 ; l’éd. de 2009 de Boréal utilise « O.K. » uniquement !)
• Le LBU14 utilise « O. K. » (aux §§ 190 et 1108).
• Au DHLF/Rey, on note « O. K. » avec semble-t-il l’espace comme au LBU ; rare avant la 2^ème guerre mondiale, fréquent depuis, se substituant à toutes sortes de réponses positives (2).
• Collins en ligne présente ses exemples en français avec « OK » tout court.

Il faut observer que c’est attesté essentiellement 30 ans après l’attestation en langue anglaise, donc en 1869, dans sa forme en attribut avec le verbe être : tout est O. K..¹ La première attestation à l’écrit en langue française apparaît dans un récit de la pose, par le navire Great-Eastern, de câbles de télégramme transatlantique entre l’Irlande à Terre-Neuve dans le Golfe St-Laurent, que relate une revue française (L’Année scientifique et industrielle). L’interjection pour l’assentiment est attestée plus tard, en 1931. Vu la présence de points, (et le fait qu’un ngram n’en tienne pas compte) il s’avère impossible de faire un constat à partir du corpus Books (Google).

La forme avec les points rappelle l’explication de l’origine en anglais, mais la majuscule est vraiment l’apanage de la langue anglaise, et la prononciation de la lettre K dans l’expression est anglaise (o-quai vs. o-ka). Le fait d’avoir une variante en minuscule et une variante en majuscule permet à mon avis d’avoir plus de nuances pour marquer à l’écrit la force du propos (ok… “ok”… ok!… OK!!!). Par ailleurs un francophone qui n’aurait jamais vu ou entendu O.K. pourrait prononcer okay naturellement en français. Enfin certains conseillent de laisser généralement tomber les points abbréviatifs dans les sigles pour fins de simplification et d’uniformisation. Tout ceci n’a aucun impact sur l’emploi, fréquent, dans la langue parlée.

Quant à l’emprunt, généralement la dynamique varie selon le type et mène parfois à la francisation etc. Le stade auquel est rendu O.K. est sans doute différent, par exemple, de celui du toast après sa plus longue cuisson : double réemprunt à l’anglais à partir de tostee en français du 13^e qu’on avait prêté au 15^e, dénombrable pour la tranche de pain (contra langue anglaise), prend la marque du pluriel sans prononciation (un(e, Qc.) toast = des toasts), et semble donc complètement intégré à la langue. L’orthographe acceptée de O.K. pourrait certainement évoluer…

¹ _{C’est-à-dire tout à fait correct ; non sans faire penser à everything is all right ; on notera qu’en anglais aussi il y a un développement dans les types d’emplois, généralement le nom d’abord, puis le verbe ; voir aussi rappel de l’origine anglaise (2), française.}