Dans un contexte mathématique, les expressions les plus couramment utilisées sont «choisir aléatoirement», «tirer aléatoirement». «Au hasard» est également possible, et un chouilla moins formel. «Aléatoire» peut signifier «risqué» dans la vie courante, mais ce sous-entendu péjoratif ne s’applique pas dans un cadre mathématique.

Pour insister sur le fait que la loi de probabilité est uniforme, on pourra préciser «tirer au hasard uniformément» ou «aléatoirement de manière uniforme».

«Par hasard» ne convient pas; l’expression est plutôt utilisé pour un évènement («J’ai rencontré un ami par hasard»). «Tirer une carte par hasard» semble vouloir dire que la personne a tiré une carte sans le vouloir.

«Tirer au sort» convient pour une loterie ou la désignation d’un volontaire, mais je l’ai rarement entendu utilisé dans un cadre mathématique (sauf pour raconter une histoire autour d’un exercice).

Je ne connaissais pas l’expression «Tirer à coup perdu». Il semble qu’elle concerne le fait de tirer avec une arme à feu. Cela me semble obscur et peu adapté.

Au quotidien, j’emploierais tout simplement « choisir au hasard ». Dans le Trésor de la langue française, voir les acceptions 3 et 4 c).

Il y a plusieurs expressions qui peuvent être utilisées pour choisir un objet parmi d’autre sans qu’aucun n’ait plus de chance d’être choisi:

• Choisir au hasard: et non pas choisir par hasard. On peut se rencontrer dans la rue par hasard, mais l’on choisit au hasard. C’est sans doute l’expression la plus courante pour la vie de tous les jours.

  Quel pull vas-tu mettre aujourd’hui?

  Je ne sais pas, je vais choisir au hasard en mettant la main dans le tiroir.

• Choisir aléatoirement: possède exactement la même signification que choisir au hasard mais c’est une expression plus employée dans le domaine scientifique. En informatique, on parle par exemple de générateur de nombres aléatoires, et donc de tirer un nombre aléatoirement.

  Je suis en train de faire un programme pour jouer au poker, et j’ai besoin de choisir aléatoirement les cartes des joueurs.

• Tirer au sort: exprime aussi le fait de faire un choix au hasard. C’est une expression plutôt employée dans le domaine sportif, par exemple tirer au sort l’équipe qui débutera le match. On trouve évidemment cette tournure dans les jeux de hasard (tirage au sort dans une loterie par exemple).

  Est-ce que tu penses que l’on va gagner la coupe du monde de football?

  Je ne sais pas, cela dépend un peu du tirage au sort.

• Choisir au petit bonheur la chance: C’est une expression moins courante, mais qui je trouve a son charme. L’expression vient du mot heur qui signifiait hasard. Au petit bonheur veut donc dire vraiment au hasard. En y ajoutant chance, on accentue le fait que c’est vraiment au hasard.

  Où vas-tu aller pour les vacances?

  Je ne sais pas, je vais prendre la voiture et aller vers le sud au petit bonheur la chance.

  J’ai choisi mon ticket de loterie au petit bonheur la chance.