Je confirme l’usage et le sens d’avoir beau au Québec. (« T’as ben beau. » = tu peux bien le faire, peu importe.)

Le lien entre l’avoir belle de et avoir beau me semble établi (ça serait trop beau pour être une coïncidence). Littré a tout dit : l’avoir belle/beau, c’est être dans une situation favorable, et par ironie, que tout effort soit inutile.

« La locution avoir beau pour dire faire inutilement, peut s’expliquer ainsi : avoir beau, c’est toujours avoir beau champ, beau temps, belle occasion ; avoir beau faire, c’est proprement avoir tout favorable pour faire. Voilà le sens ancien et naturel. Mais par une ironie facile à comprendre, avoir beau a pris le sens d’avoir le champ libre, de pouvoir faire ce qu’on voudra, et, par suite, de se perdre en vains efforts. […] »

L’inutilité me semble située dans la locution elle-même, c’est-à-dire dans l’usage qui en est fait. L’ironie de la tournure est entrée dans la langue et est devenue le sens premier de l’expression. Ça ne serait pas la première locution à se faire rattraper par son usage, « C’est malin ! » serait un exemple semblable.

Par contre, de quoi la locution clame-t-elle l’inutilité… de la proposition qui la suit ! Même si cette dernière parait absente, « t’as beau » est toujours une réponse, qui fait référence à ce que vient de dire l’autre interlocuteur.

— Veux-tu que je mette tes clés en avant ?
— T’as beau [mettre mes clefs en avant] (— c’est un vain effort).