Both sentences have the same meaning. However, the first one is more common.

Definition of “avoir à” :

Devoir faire quelque chose, être dans l’obligation de : J’ai à régler quelques détails.

Source : Larousse.fr

Je dois partir.

Il est de mon devoir de partir, c’est une contrainte à laquelle je dois me soumettre.

J’ai à partir.

J’ai [quelque chose] à faire qui est une tournure correcte, entre dans le langage familier lorsque le verbe d’action est changé –> J’ai à partir, s’emploie surtout à l’oral en France.

It’s a good question

I’m French. (my apologies for inevitable mistakes.)
Of course some differences exist, but thinking about it, I don’t succeed in finding a general rule for "devoir" or "avoir à".
Like in English with "must" and "have to."

Regarding avoir à faire qqch, I don’t have the impression that there is any difference between that and to have to do.

You’re right, though, it’s not common. Usually, we say avoir qqch à faire.

Hum…I think we do this inversion often when the sentence is longer, when there are qualifications to "qqch"~

"J’ai des choses à faire"

but:

"J’ai à faire des choses qui/que…"
"J’ai à faire des choses que"

In the past tense, it sounds better.

J’ai eu à faire certaines choses que…

I think that’s to avoid breaking the continuity of the sentence.

J’ai eu à faire des/certaines recherches que mes camarades avaient négligées.

Of course, else you can say:

J’ai eu des recherches à faire, que mes camarades avaient négligées."

Notice I used a comma.

As "hunter" said on a precedent post, we use this turn with "juste" or "ne + que":

Tu as juste à faire ce qu’on te dit (de faire)

Parfait ! Il n’a plus qu’à signer.

Maintenant, on n’a plus qu’à attendre
Maintenant, on a juste à attendre