La pie vole, un début de réponse :

La pie voleuse est un oiseau donc il y a un jeu de mots avec les deux sens de voler, la pie qui vole dans l’air est une pie qui peut chaparder. C’est une bavarde en plus.

Pie, volons ou puis volons ?

Si l’on s’adresse à la pie ou si les paroles sont « puis, volons » c’est l’impératif, une suggestion (l’hortatif). Je ne dirais pas qu’il s’agit de la troisième personne du singulier mais de la 2è pl. pour inviter la pie ou les autres à voler (ou à s’envoler).

Dans la comptine classique Une Perdriole, l’enfant donne plusieurs animaux à mamie dont le premier est « la perdriole qui vient qui va qui vole. »