It would be incorrect to say savoir son état de santé just like indeed connaitre qu’il va mieux would be.

Native French never confuse these verbs but doing it is a common mistake from French learners.

See for example this page for some clues about when to use one or the other.

Connaître est transitif:

Je connais cette histoire, je connais cette personne, …

Savoir peut s’employer de plusieurs manières:

• de manière intransitive: je sais.

• avec une relative: je sais que je viendrai, je sais qui c’est je sais quand c’est arrivé.

• avec un COD de type pronom impersonnel: je sais ça, je sais cela, je le sais.

• moins fréquemment, avec un COD de type substantif, on emploie en France plus souvent connaître: je sais son nom = je connais son nom, je sais cette histoire = je connais cette histoire.