Je donne ci-dessous la réponse exhaustive de GeorgeMum (merci !) pour qu’elle soit aussi disponible dans FSE.

1) Différence entre animés et inanimés

• Accord avec le sujet.

Ici, “avoir l’air” est à prendre comme une expression d’un bloc, qui signifie “paraître”. On peut écrire “cette fillette paraît fatiguée, cette pomme paraît appétissante”, et remplacer “paraît” par “avoir l’air” sans se poser de question. Comme il s’agit d’une expression, l’article défini (l’air) ne peut pas être remplacé par l’article indéfini (un air).

La phrase est à voir comme ceci : sujet (fillette), verbe (paraître, ou son synonyme “avoir l’air”), adjectif se rapportant au sujet (fatiguée).

• Accord avec “air”.

Le point de vue n’est plus le même. La phrase est à voir comme ceci : sujet (fillette), verbe (avoir), complément (air), adjectif se rapportant au complément (fatigué).

On considère ici que le sujet a un air (au sens de : une mine, une expression), ce qui n’est envisagé que dans le cas d’un être animé, et on caractérise ensuite cet air (cette mine) : fatigué, triste, joyeux…

On ne peut pas dire qu’une pomme est joyeuse – sauf si on l’humanise, et pourquoi pas après tout… Il n’est donc pas impossible de dire qu’une pomme a un air joyeux, mais c’est une figure de style, une fantaisie. Votre manuel de grammaire, qui reste sérieux, ne l’envisage pas.

2) Difficulté de la grammaire.

Je ne nie pas l’existence d’exceptions et des règles réellement arbitraires. J’espère avoir montré ci-dessus qu’une règle qui semble arbitraire peut parfois s’éclairer quand on en comprend la logique.

Mais je voudrais faire passer un autre message : si vous avez des examens à passer ou si vous vous destinez à une carrière de linguiste, apprenez, travaillez et souffrez. En revanche, si vous voulez juste parler français (cas de la grande majorité des gens qui apprennent le français), détendez-vous car il n’est pas nécessaire de connaître parfaitement toutes ces règles pour bien parler ni même pour écrire. Beaucoup de Français ne les connaissent d’ailleurs pas.

Dans le cas présent, oubliez simplement l’accord avec “air” et les questions d’animés/inanimés, accordez toujours avec le sujet et vous écrirez sans faute. C’est ce que la plupart des gens font.