The name of this street goes back to the end of the 15th century (ref.).
There seems to be no particular principle dictating this construction rather than the usual one ; this rather haphazard practice is found for instance (carried here to an extreme) in "Rue Garonne", a street in Agen, a city near the Garonne river. Is also found a "Rue Loire" in Saint Sébastien sur Loire (ref.) and other places; as well, there is somewhere a "Rue de Loire". It seems, in my opinion, for the least, that these constructions are due simply to the inhabitants’ whimsies, or at best, carelessness.

« Les noms désignant des régions (continents, pays, provinces, départements, etc.), des montagnes, des mers ou des lacs, des cours d’eau » prennent « ordinairement » l’article défini sauf que « pour les noms de cours d’eau, il reste des traces de l’ancien usage » (LBU) :

En ancien français, on employait généralement sans article les noms de
régions ou de cours d’eau. On pouvait dire encore au XVI^e
et au XVII^e siècle : A voir couler sur Marne les bateaus
(RONSARD, éd. L., t. VI, p. 11 ). — Presque tous ceux de delà Loire
(VAUGELAS, p. 405). — ⁺il est tout à fait de l’intérêt
d’Espagne de fortifier ce parti (LA ROCHEF., t. III, p. 85). —
⁺Ma fille est partie pour Provence (SÉV., 31 mars 1694).
— ⁺La puissance d’Autriche (BOSS., Or. fun., Le Tellier).

[ Le bon usage, Grevisse et Goosse, éd. Duculot, 14^e , § 588 H4 ]

Plus spécifiquement :

[…] Autres traces avec des noms féminins. Comme compléments de noms comme bord, rive, quai : Les bords
de Durance (GlONO, Un de Baumugnes, I). —
Les bords de Loire (P.-H. SIMON, Raisins verts, p. 139). — Les bords de Seine (J.-P. CHEVÈNEMENT, Les socialistes, les commun, et
les autres, p. 97). — Les quais de Loire (GENEVOIX, Jeux de
glace, p. 79). — La rue de Seine, à Paris. […]

[ Le bon usage, Grevisse et Goosse, éd. Duculot, 14^e , §
588 c ]

Yes, that’s an exception to a more general usage rule whereby you will typically have the definite article with such a name (of a river).