"Avoir intérêt que" is not correct¹. You can say "avoir intérêt à". So, in correct French you should say "J’avais intérêt à y arriver".

However, what "j’avais intérêt que j’y arrive" means can be guessed; there are two possibilities.

1/ If the context is that of getting some place, it means "It was in my interest to get there".

2/ If the context is that of succeeding in doing something, it means "It was in my interest to succeed".

¹ Suite au commentaire de user jlliagre (Mais comme chaque peuplade avait intérêt que son capitaine fût le meilleur Voltaire) une recherche montre qu’on trouve des exemples récents, mais pour « a intérêt que » de 2015 à 1998 il y en a 3 mis à part 2 « y’a intérêt que » (pas correct du tout il me semble), puis on ne trouve plus d’exemples jusqu’à 1883. Le cas de « avait intérêt que » est similaire. Comme en plus le TLFi ne mentionne pas cette construction, il est très possible qu’elle ne soit pas jugée de nos jours comme étant de la meilleure langue. La tournure avec « à » est sans ambiguïté et très répandue, néanmoins celle avec « que » (même si elle ne semble pas très naturelle) reste compréhensible.