Here, rester is used in an impersonal form.

That means the pronoun il (only third person singular allowed) is just a place holder and doesn’t represent anything, like in il pleut (it’s raining).

As you put it, this is a set phrase (une tournure impersonnelle). The personal pronoun "il" does not stand for anything: français facile.

(TLFi) II être encore présent, disponible; subsister
           B. − [En empl. impers., le suj. réel désigne un animé ou un inanimé concr. ou abstr.]

1. Il reste (+ subst.).
   ♦ Quand les aunes eurent disparu, il restait les souches (Hémon, M. Chapdelaine, 1916, p. 63).
   ♦ L’Europe était alors [au temps de Montesquieu] le meilleur des mondes possibles (…). La science était déjà assez belle, et les arts très délicats; il restait de la religion (Valéry, Variété II, 1929, p. 63).
   ♦ Il reste les autres: les fidèles qui demeurent à mi-côte, qui luttent, succombent, se relèvent (Mauriac, Journal 2, 1937, p. 189).

As others have already answered, it’s an impersonal form. You might like to note a few others which behave in a very similar way:

• il existe plusieurs solutions (several solutions exist)
• il suffit de trois semaines pour finir le projet (three weeks is enough to finish the project)
• il arrive parfois des choses étranges (strange things happen sometimes)
• il en résulte deux conséquences (there are two consequences of this)