C’est à cause des rimes des chansons à mon avis. Si elles utilisaient mieux, les rimes seraient incorrectes. On voit dans les deux cas que le mot meilleur est là pour rimer avec ailleurs.

Par contre, les adjectifs ne veulent pas exactement dire la même chose comme dit en commentaire, mais je ne sais pas à quel point cette différence a été importante pour l’auteur par rapport aux rimes de la chanson.

Zebda

…
Tous les enfants de ma cité et même d’ailleurs
Et tout
ce que la colère a fait de meilleur
Des faces de stalagmites
et des jolies filles
Des têtes d’acné, en un mot la famille
…

Zaz

…
On dira que les rencontres font les plus beaux voyages
On
verra qu’on ne mérite que ce qui se partage
On entendra chanter
des musiques d’ailleurs
Et l’on saura donner ce que l’on a de
meilleur
…

Non, il n’est pas necessaire d’utiliser le mot "mieux" et le choix du mot "meilleur" dans les paroles de Zebda est tout à fait justifié, et non pas guidé par le besoin des rimes. En français, le mot "meilleur" précédé d’un article ("le", "son", "du", "de" etc…) est le superlatif relatif de "bon". Il est couramment employé de manière similaire aux exemples que vous avez partagés:

C’est son meilleur ami.

Servez-moi le meilleur vin.

Tout est pour le mieux dans le meilleur des mondes possibles. (Candide, de Voltaire)

Que le meilleur gagne !

donner le meilleur de soi-même (expression courante de la langue française: https://www.wordreference.com/fren/donner%20le%20meilleur%20de%20soi-m%C3%AAme)