C’est parce que ce n’est pas le même verbe.

Vous pourriez tout à fait dire “mais aujourd’hui il est en avance d’un quart d’heure” qui rejoint la construction que vous connaissiez. En disant “il a un quart d’heure d’avance”, la grammaire de la phrase est différente (avoir + complément). Cependant le sens est identique.

Edit

“à l’avance” et “par avance” ont un sens très voisin mais avec quelques subtilités :

“à l’avance” est plutôt utilisé pour une action. Ainsi on dira “le train arrive un quart d’heure à l’avance” et non “le train est un quart d’heure à l’avance” (on dirait “en avance d’un quart d’heure” dans ce cas-là, comme déjà vu).

De plus, “à l’avance” a en général une connotation d’action délibérée. On dira “j’étais en avance chez le médecin.”, c’est neutre. On dira “je suis arrivé à l’avance chez le médecin”, cela signifie que c’était volontaire de ma part d’arriver plus tôt. “à l’avance” signifie en général un but, parfois évident et implicite. “J’ai réservé à l’avance”, bien sûr, veut dire qu’on a réservé plus tôt pour éviter qu’il n’y ait plus de place. (d’ailleurs c’est presque un pléonasme, si on réserve, c’est forcément à l’avance…)

Quant à “par avance” il n’est guère utilisé que pour les remerciements : “Je vous remercie par avance” signifie : “Je vous remercie dès maintenant, avant même que vous ayez agi pour mériter ce remerciement”

La simple raison de cet usage est que l’on a affaire à un idiomatisme, comme le TLFi le stipule, un syntagme du langage.

1. P. anal. Fait de précéder quelqu’un ou quelque chose dans le temps.
   Avoir (un certain temps) d’avance (sur qqn ou qqc., pour qqc.); avoir une avance de (indication de temps) sur qqn ou qqc.

La réponse est basée sur la définition du dictionnaire pour déterminer quel terme choisir parmi les termes proposés.

Ces termes peuvent être caractérisés comme des collocations. Effectivement, certains sens sont exprimés en fonction d’un choix initial de mots (combinaison de mots potentiellement variable). [1]

[1] Le TLFi indique que les termes « à l’avance », « d’avance », « par avance » ainsi que « en avance » sont des locutions adverbiales.

Le train arrive à Bordeaux tous les jours à quinze heures mais aujourd’hui il a un quart d’heure d’avance. Avoir (un certain temps) d’avance.

Le terme « en avance » est une locution adverbiale qui n’exprime pas explicitement la durée (ou qui n’évoque pas la durée) mais l’avance manifeste (adjectif) dans l’accomplissement d’une action (sens proche).

Loc. adv. En avance. Avant le temps fixé ou prévu.

On ne peut pas employer le terme « en avance » dans la phrase citée pour exemple.