Cela peut s’analyser par ce qui est entendu et sous-entendu :

Pour faire quoi [la-haut] ?

Pour quoi faire  ? On entend « Pourquoi faire [cette ascension] ? »

Réponse subjective qui peut expliquer pourquoi le professeur a modifié l’ordre des mots : à part prendre une photo ou planter un drapeau, il n’y a pas beaucoup d’activités possibles sur le toit du monde.

In fact, the meaning of both expressions is exactly the same, the difference being just that “pour quoi faire” is a classical form and “pour faire quoi” a modern one. From a literary point of view, it is quite preferable to use “pour quoi faire“, because it is a question so the pronoun has to be set before the verb.

Bon!… on va commencer par affirmer que ta prof t’aura au minimum orienté vers la forme la plus commune.

Bon…! Cela ne veut pas non plus dire que la forme la moins fréquente soit pour autant fautive hein!

La construction de la phrase interrogative en français est matière à… longueurs! (une quarantaine de pages chez Grevisse (police de 2))…

Comme je ne vais te résumer tout ici, on va trier… hmmm :

Ton truc c’est d’abord : Une interrogation directe. (Bon parce qu’il y a aussi les indirectes)

Il s’agit ensuite d’une interrogation partielle. (Bon… parce que dans les directes, il y a aussi les globales)

Et enfin… forcément… ces interrogations partielles… on peut les exprimer de façon plus ou moins soutenues.

Dans le langage soutenu, les interrogations partielles commencent par l’interrogatif : Que fais-tu ? Quoi faire ? Que fait la police ?

Dans le langage courant, on reporte l’interrogatif en fin de phrase :
Tu fais quoi ? Pour faire quoi ? Cela fait quoi ?

Bon… Tout ça pour dire… ma conclusion… t’as pas tort mais… c’est ta prof qui a raison. 😉

Bon… OK… ce n’était pas la peine de faire si long pour arriver à cette… banalité. 😉

The essential aspect in deciding which is to be used, putting aside the fact that nowadays people tend to forget the difference between standard and substandard as concerns those foms, is that “pour quoi faire?” remains more a factual question, free of insinuations, whereas “pour faire quoi ” can be used by speakers in a rather abrupt manner, not quite polite, to the effect of notifying to the person to which it is intended a certain absurdity in the action they propose, or some such derogatory quality that the asker, rightly or not, imputes to it.