Boîte à, or more generally any container + à, means “a container whose purpose is to contain…”

Placard à balais

Moule à gâteaux

Plat à tarte

Boîte à épingles

When used in that sense, it doesn’t matter what the box actually contains. You can say J’ai mis le thé dans la boîte à épices, for example.

Boîte aux lettres is an idiomatic term used specifically for a box that’s used to hold things for some kind of mail delivery. You can have a boîte à lettres anywhere as long as it’s a container in which you intend to put letters. But the boîte aux lettres is a container that someone will either deliver letters into, or pick up letters from. It can also be used in figurative contexts, eg for email (ma boîte aux lettres sur yahoo) whereas you wouldn’t hear that usage for boîte à lettres.

Finally you can use “à” in its normal sense, with a box as with anything else, to refer to the attributes of the box, in phrases like la boîte au couvercle cassé (the box with a broken lid).

In that last sense, you could use la boîte aux épices to talk about the box that currently contains the spices, and people would understand it that way. But it would not be the common way to describe such a box; likely people would say something else like la boîte d’épices, la boîte où sont les épices, la boîte avec les épices.

Rappellons-nous tout d’abord que “aux” est une contraction de “à les”. On hésite donc entre (1) “boîte à épices” et (2) “boîte à les épices”.

Dans les deux cas, il s’agit d’une boîte qui a vocation à contenir des épices, seulement dans le deuxième on a en plus l’idée que cette boîte est le rangement normal pour toutes les épices (de la maison), et pas seulement quelques unes.

Dans ce cas précis, on parlera donc de boîte à épices si on projette d’y ranger quelques épices et d’en ranger d’autres ailleurs (par exemple dans d’autres boîtes à épices ou dans un récipient à épices), et de boîte aux épices si il s’agit d’une boîte qui abritera toutes les épices de la maison (par exemple si on est un Navigateur qui n’a pas besoin de curry, de cumin ou de coriandre, seulement d’une seule sorte d’Epice, on peut avoir sa boîte aux épices au bureau).

La distinction peut aussi se faire pour les autres sortes de boîtes: une boîte aux chaussures serait une boîte dans laquelle on range toutes les chaussures. On comprend que cet objet soit assez peu utilisé de part son aspect peu pratique.