I don’t know any canonical direct translation, usually the sentence is reformulated to avoid having to say that.

However the slang “mon moi du passé” can be sometimes heard.

It would be easier to have a full English sentence using that expression but moi à vingt-trois ans and moi plus jeune might be proper translations.

You could translate it by “J’écris une lettre à mon moi d’antan.” (My younger self) or “Je m’écris une lettre pour quand j’avais 23 ans.” / “J’écris une lettre à mon moi de 23 ans”.

Pour une projection future :

Lettre de ma main que je lirai le jour de mes futurs vingt-trois.

Pour les souvenirs :

Lettre de ma main pour les souvenirs de ma vingt-troisième année.