Il s’agit d’une candidature, pour un cas personnel.

Ou d’une demande pour un cas administratif quelconque, ou requête. En cas de problème (si l’on n’est pas d’accord), on emploie plutôt recours ou contestation.

Applicant se traduit par pétitionnaire. Mais on n’emploie pas pétition.

Le terme administratif officiel en France est saisine, très peu usité car peu connu. Il va peut-être connaître un regain avec le concept de saisine par voie électronique (voir point suivant).

A noter que le mot procédure revient en force, avec la montée en puissance des technologies dématérialisées et web: on parle de télé-procédures: faire une télé-procédure, ou faire une procédure en ligne.

Le terme employé pour le demandeur évolue: d’assujetti, il passe à administré, pétitionnaire, ou impétrant (pour obtenir un diplome, certificat, …)

Procédure administrative ou Démarche administrative reste le plus adapté.

Il n’y a pas de mot propre à une démarche administrative. Si vous utilisez juste démarche, la phrase perdra son contexte, et vous supposez que l’interlocuteur sait que vous êtes en train de réaliser une démarche administrative.