Dans cette phrase, le COD est « la barbe ».

En effet, le verbe se raser est pronominal.

On peut se poser la question suivante : « Que se rase-t-il ? » → « la barbe ».

Dans ce type particulier de constructions “pronominale” qui implique une partie du corps le pronom correspond toujours au possesseur de cette partie. Si on veut l’analyser ainsi, il faudrait dire que se est un complément indirect, voire carrément qu’il fait, en fait, partie du groupe nominal. Cela dépendra de la manière dont on choisit d’analyser une phrase comme Il rase la barbe de Martin.

Il s’agit en fait d’une expression de la possession inaliénable en français. Cet article parle de plusieurs autres constructions où cette distinction est présente.