La question est épineuse, mais dans ce cas précis, la différence est négligeable. En général, ce n’est pas forcément le cas.

Le TLF a une note un peu absconse à ce sujet

II A.− Devoir + inf. a une valeur modale; devoir explicite une nécessité plus ou moins pressante à laquelle sont soumis et l’agent d’un procès et le procès lui-même (à la différence de falloir, impersonnel, dont la modalité n’affecte que le procès).
(TLFi — Devoir)

Autrement dit, devoir s’applique à un agent et un procès¹, alors que falloir ne s’applique qu’à un procès. Ou encore « X doit Y » signifie que X doit réaliser Y, alors que falloir s’emploie sous la forme « Il faut Y » et signifie que Y doit être réalisé, sans plus de précisions. On pourrait dire que devoir est une exigence sur une action, alors que falloir est une exigence sur un résultat.

En pratique dans des emplois comme « Il faut X » où X est une proposition ayant un agent, soit du type « Il faut qu’Alan fasse la vaisselle » — à l’opposé de « Il faut qu’il pleuve », dans laquelle les il ne désignent rien —, le sens est presque le même que dans l’équivalent avec devoir « Alan doit laver la vaisselle ». La seule différence qu’on peut alors trouver est que dans le cas de devoir, on peut sous-entendre que l’agent (Alan) a un devoir moral de réaliser le procès (laver la vaisselle).

Ultime subtilité : on peut utiliser devoir sans agent explicite en se servant du passif, comme dans « Carthage doit être détruite ». Ça ne contredit pas ce qui précède, comme même si dans ce cas l’agent n’est pas précisé, il existe bien : nous, ou peut-être d’autres personnes, doivent détruire Carthage.

1. ne pas se laisser berner par les « Il doit pleuvoir demain », ce n’est pas le même sens de devoir, on passe là au sens II A 2 de l’article du TLFi, soit

   2​. La modalité affecte le procès; par le moyen de cette périphrase l’auteur du propos traduit l’aspect sous lequel la réalisation d’un procès est conçue par lui.
   (TLFi — Devoir)

2. ne pas se laisser berner non plus par les « Il lui faut partir », ce ne sont que des « Il faut qu’il parte » déguisés.

Here are some examples and points about the usage of falloir and devoir, as per Laura Lawless on http://french.about.com/od/grammar/a/devoirfalloir.htm

Devoir – When followed by an infinitive, devoir expresses obligation,
probability, or supposition.

Je dois partir – I have to, I must, I’m supposed to leave

Je devais étudier – I had to, was supposed to study

Je devrai travailler – I will have to work

…

Falloir is stronger and somewhat more formal than devoir; it expresses
necessity. Falloir can be used with an infinitive or the subjunctive.
Because it’s an impersonal verb, falloir does not conjugate for
different subjects, so in order to specify the person who needs to do
something, you can either use the subjunctive or an indirect object
pronoun with the infinitive.

Il faut travailler – It is necessary to work, One needs to work.

Il me faut travailler, Il faut que je travaille – I need to work.

Il ne faut pas manger – One must not eat.

Il nous fallait manger – We had to eat.

…

When used with a noun, falloir means “to need.”

Qu’est-ce qu’il te faut ? – What do you need?

Il me faut un stylo. – I need a pen.

For more information on devoir:

http://french.about.com/od/grammar/a/devoir.htm

For more information on falloir:

http://french.about.com/od/grammar/a/falloir.htm

• Il faut faire: A vague obligation
• Devoir faire: A Must, a big priority

• Falloir is for necessities, needs.

• Devoir is for obligations, duties.

Obviously the difference between the two is sometimes just a difference of point of view and you may soften or explain an order by presenting it as responding to a need, or you may increase the chances that a need is fulfilled by giving to someone the duty to answer it.

“Il faut que je le fasse” and “Je dois le faire”

It’s like asking the difference between : “I have to do it” and “I must do it”.

Two ways of saying the same thing.