I think the English translations of que and qui (following the context of your question) describe the difference between these two words very well:

• que is used for making a relationship between the subject (e.g.: Alice) and a statement (e.g.: j'aime beaucoup), and refers to the subject.
  Considering your context, the English translation of que is whom.

  The English translation of the 1st example you provided would be:

Alice whom I like very much.

• qui is used for describing the subject (e.g.: Le voisin).
  Considering the context of the question, the English translation of qui is who.

  The English translation of the 2nd example you provided would be:

The neighbor who is very important to me.

Je pense que les traductions de que et qui en anglais (tout en considérant le contexte de la question posée) décrivent bien la différence entre ces deux mots:

• que est utilisé pour faire une relation entre le sujet (ex: Alice) et une proposition (ex: j'aime beaucoup), et fait référence au sujet.
  En prenant en compte le contexte de la question, la traduction de que en anglais est whom.

  La traduction anglaise du 1er exemple fourni serait:

Alice whom I like very much.

• qui est utilisé pour décrire le sujet (ex: Le voisin).
  En prenant en compte le contexte de la question, la traduction de qui en anglais est who.

  La traduction anglaise du 2ème exemple fourni serait:

The neighbor who is very important to me.

De façon générale :

• que introduit une proposition subordonnée relative dans laquelle l’antécédent joue le rôle d’objet direct.

• qui introduit une proposition subordonnée relative dans laquelle l’antécédent joue le rôle de sujet.

Quelques exemples d’utilisation de que :

• Dans la proposition subordonnée du premier exemple donné dans question :

  Alice que j’aime beaucoup.

  Alice est objet direct du verbe aimer. La proposition subordonnée seule s’écrirait : « J’^(sujet) aime beaucoup Alice^(objet). »

• Autre exemple :

  Le stylo que tu prends dans tes mains est rouge.

  Le stylo est objet direct du verbe prendre dans la subordonnée : « Tu^(sujet) prends le stylo^(objet) dans tes mains. »

Quelques exemples d’utilisation de qui :

• Dans la proposition subordonnée du deuxième exemple donné dans la question :

  Le voisin qui est très important pour moi.

  le voisin est sujet du verbe être. La proposition subordonnée seule s’écrirait : « Le voisin^(sujet) est très important pour moi. »

• Autre exemple :

  La voiture qui dépasse le camion roule trop vite.

  La voiture est le sujet du verbe dépasser dans la subordonnée : « La voiture^(sujet) dépasse le camion^(objet). »