Deux verbes se suivent, le deuxième se met à l’infinitif.

Je vais développer la réponse de @Paracosmiste

Une phrase simple ou encore proposition n’a qu’un verbe conjugué et s’il en contient plusieurs, tous les autres se mettent à l’infinitif.

NOTE

Les auxiliaires avoir et être échappent à cette règle.

En plus

Je regarde Anna danser a deux verbes : regarder et danser. Danser étant le 2me verbe de la proposition (qui dans ce cas est une phrase), se met à l’infinitif.

Pour utiliser ta formulation, on peut ajouter une virgule pour obtenir Je regarde Anna, danse et là on obtient deux propositions et une énonciation totalement différente en ce sens que celui qui parle demande à son interlocuteur de danser pendans qu’il regarde Anna entrain de danser.

En résumé

Plusieurs verbes d’une phrase simple ne peuvent être tous conjugués (à l’exception des auxiliaires). Dans le cas où il y’aurait plus d’un, les suivants se mettent à l’infinitif.

EDIT

I think this grammar rule also applies in English. In a phrase simple or proposition having many verbs, only the first is conjugated, all the others stay in infinitive form. This doesn’t apply to auxiliaires which are used to conjugate verbs in temps composés

Je regarde Anna danser.

Je regarde = proposition principale

Anna danser = proposition infinitive

In this type of sentences the verb in la proposition principale is usually a verb of perception (regarder, voir, entendre, écouter…). Both the proposition principale and the proposition infinitive contain a subject (je, Anna) and a verb (regarde, danser). Other examples of such constructions could be: J’entends le train siffler. Nous regardons les avions s’éloigner dans la nuit.

You’re right that * Je regarde Anna danse is incorrect, however it is possible to say:

Je regarde Anna qui danse.

What is then the difference between Je regarde Anna danser and Je regarde Anna qui danse?
The first sentence emphasizes the action (dancing), while the second one emphasizes the actor (Anna).

In French, infinitive (infinitif) means "action", whereas past participle (participe passé) means "state".

There are people saying that there is a rule about two successive verbs inside a simple sentence, but it doesn’t really help: an adjective can be made with a participe passé.

In English, you would translate "I’m watching Anna dancing", using the continuous present, marking the idea of action.