(Written just before Laure spotted the duplicate! Oh well, perhaps another iteration will be useful.)

An English answer follows the French one.

Certes, les deux termes se chevauchent, mais pas entièrement. C’est vrai alors que les dictionnaires qui glosent « savoir » par « avoir connaissance de » ne sont pas trop utiles à ce régard.

L’enseignement général qu’on donne (au moins ici au Canada) est ceci :

« Savoir » s’emploie pour des réponses, des faits, des dates — tout ce qui exigerait que tu consultes un dictionnaire ou une encyclopédie.

Quelle est la réponse ? Je ne sais pas …

_{Je ne l’ai pas apprise.}

« Connaître » s’emploie pour des personnes, des lieux, des expériences — tout ce avec quoi tu dois te familiariser.

Connais-tu cette femme-là ? C’est la dauphine, la femme du dauphin.

_{On ne s’est pas encore rencontré.}

Ces mots ont tous les deux toute une gamme de significations, dont beaucoup sont figurées, mais l’essentiel est qu’elles naîssent chacune de cette distinction fondamentale : connaissance sémantique vs. connaissance épisodique, expérientielle. Ce trésor m’a été assez pour faire un commencement en tout cas, et pour assimiler peu à peu les autres sens possibles au fur et à mesure dans mes lectures suivantes.

P.S. Un autre sens de « savoir » : lorsqu’il est suivi d’un infinitif, ce mot veut dire « savoir comment faire » ou (plutôt archaïque) « pouvoir ».

Éloignez-vous, voleurs ! J’ai un grand bâton et je sais me défendre !!

There certainly is a lot of overlap, but it isn’t total. Though it’s true that dictionaries that gloss “savoir” as avoir connaissance de aren’t very helpful in this regard.

The general wisdom given (at least here in Canada) is this:

Savoir is used for answers, facts, dates — things you could look up in a dictionary or encyclopedia.

Quelle est la réponse ? Je ne sais pas …

_{I don’t know the answer. = I have not learned it.}

Connaître is used for people, places, experiences — things you must become familiar with.

Connais-tu cette femme-là ? C’est la dauphine, la femme du dauphin.

_{Do you know that woman? = Are you acquainted with her?}

Each one has a wide range of meanings, many of them figurative, but the idea is that they all spring from that basic distinction — semantic knowledge vs. episodic, experiential knowledge. That nugget was enough to get me started, anyway, and to gradually absorb the other possible meanings as I encountered them in later reading.

P.S. Another important meaning of savoir : when followed by an infinitive, it means “to know how to” or (more archaic) “to be able to”.

Éloignez-vous, voleurs ! J’ai un grand bâton et je sais me défendre !!

_{I know how to defend myself!}