En même temps will stress the simultaneity of the actions

Ils ont parlé en même temps.

Il faut appuyer sur les touches ctrl, alt et delete en même temps.

Par la même occasion will stress the opportunity. The second action might be within the first one or slightly shifted.

Il a fait un discours et remercié ses collègues par la même occasion.

Ils ont fait le plein d’essence et lavé les vitres par la même occasion.