Il ne me vient pas d’équivalent qui marche dans tous les cas. Par contre on peut chercher du côté de travailler pour les cas où il s’agit de travailler

Il faut que je bosse mon anglais avant de partir en Angleterre
Il faut que je taffe mon anglais avant de partir en Angleterre

Ou plus spécifiquement comme synonyme d’étudier

Il faut que je potasse mon anglais avant de partir en Angleterre
Il faut que je buche mon anglais avant de partir en Angleterre

Pour la santé, je n’ai trouvé que soigner

Soignons ensemble nôtre santé en mangeant des pommes

Mais note que la première personne du pluriel est plutôt soutenu en français actuel.