En première réaction, délier le verbe du sujet : à chaque nuance de traduction son action :

• Le fondement s’effondre
• La condition est abandonnée
• Le préalable disparaît

En français on dit respectivement « la condition n’est pas remplie » et « ce raisonnement est incorrect ». On entend aussi « raisonnement faux », ou « raisonnement erroné ».

Fail a effectivement plusieurs sens et la citation manque de contexte pour déterminer ce qui conviendrait le mieux.

Échouer et rater (exemples 1 et 2) implique la présence préalable d’une condition déterminée dont le résultat est un échec.

Manquer (exemple 3) implique l’absence de condition.

Selon les cas on pourrait suggérer des traductions :
« L’échec de… » (pour les cas 1et 2)
« L’absence de…» (pour le cas 3)

Et le mot fail peut aussi être rendu par une simple négation quand il est suivi d’un verbe :
Present conditions fail to meet the standards. Les conditions actuelles ne respectent pas les standards.
Your reasoning fails to prove.. Ton raisonnement ne prouve pas que … / n’arrive pas à prouver que…

Quelque chose du genre

Puisque les deux membres de l’équation ne sont pas égaux, le raisonnement précédent ne permet pas de démontrer le théorème.