Les deux possibilités seraient acceptables selon ce que je peux déduire mais le passé composé serait préférable. Les explications suivantes tendent à confirmer cela.

Si on se base sur cet ngram les deux possibilités sont correctes ; cependant on s’aperçoit en examinant les livres que le passé composé est utilisé après un verbe dans la principale qui est aussi au passé composé et que l’imparfait est utilisé après un verbe dans la principale qui est soit au passé simple soit à l’imparfait (une exception, passé composé) soit au subjonctif ou bien après un participe présent ou un gérondif.

En utilisant le passé composé on insiste sur les possibilités de courir qui sont celles du moment : il a couru aussi vite qu’il le pouvait à ce moment précis lorsqu’il a couru. Si on utilise l’imparfait il n’existe plus cette certitude qu’il s’agit des possibilités du moment mais on n’est pas sûr, on ne devient sûr que ce sont des possibilités indépendantes du moment que si l’on ajoute un complément;

• Il a couru aussi vite qu’il (le) pouvait (le faire) dans des moments de frousse intense. Il est préférable d’ajouter soit le pronom « le » soit la locution « le faire ».
• Il a couru aussi vite qu’il a pu dans des moments de frousse intense.
• Il a couru aussi vite qu’il a pu le faire dans des moments de frousse intense. Ces deux dernières constructions n’expriment pas l’idée voulue, elles ne communiquent rien de défini.

Dans l’usage de l’imparfait il existe une ambiguïté entre une situation habituelle et une situation particulière. On s’aperçoit peut-être de cela dans la comparaison des deux phrase ci-dessous;

• Bien que la douleur ait été forte il a couru aussi vite qu’il pouvait.
• Bien que la douleur ait été forte il a couru aussi vite qu’il a pu. Le temps ne convient plus, on obtient du non-sens ; si l’on accepte cette première phrase comme significative, on doit reconnaitre que le temps communique un état de chose qui est indépendant du moment : « qu’il le pouvait d’habitude ». Sans le complément qui rend la situation de la course particulière (Bien que la douleur soit forte) la phrase a de nouveau du sens.

Lorsque la situation n’est pas rendue particulière vis-à-vis de l’action il n’y a pas de différence importante ;

• Il a couru aussi vite qu’il a pu.
• Il a couru aussi vite qu’il (le) pouvait (le faire).