C’est certainement impossible ou très difficile à trouver dans les mots d’usage courant, à cause des raisons évoquées, et notamment:

• des expressions (centrées sur un mot particulier);
• de l’usage qui dérive naturellement, et qui fait glisser le sens du propre au figuré, et enrichit d’autres usages.

En revanche, pour des mots d’usage plus rare, très précis (scientifiques, techniques et dans des matières professionnelles), et qui ne sont pas (ou plus rarement) soumis aux phénomènes précédents, on en trouve.

Il y a également le cas des mots du patois ou d’origine de plusieurs régions.

Ou les mots d’origine grecque et leur équivalent d’origine latine, idem avec les langues européennes.

Ou les marques utilisées comme nom générique.

logement = habitation.

contrainte = obligation.

frigo = réfrigérateur.

Zeus et Jupiter,

… des mots particuliers certes, mais des mots quand même, et avec eux toute la cohorte des dieux romanisés.

Même si Jupiter était inconnu des Grecs, on peut inter-changer les noms : l’intelligibilité de la phrase est inchangée, on ne désigne qu’une et un seule entité… qui à l’éternité devant elle pour s’amuser de nos furtifs jeux littéraires !

AJOUT

Il y a un domaine où le synonyme ‘absolu’ est monnaie courante : la botanique, science qui nomme et classifie en latin, à travers toutes les langues à la surface de notre planète.

Ainsi une plante a son nom en latin et au moins un nom local dans chaque langue où elle est étudié, et dans cette langue, chaque région, chaque province donne souvent un nom différent selon l’origine de son patois originel.

Renoncule, Ranunculus : grenouillette, fleur de l’impatience, gobet du diable à cause de ses propriétés toxiques.

Chaque sous-espèce a un nom latin et un nom vulgaire associé.

P.S. : Peut-être dans un contexte médical

• Motilité qui est le synonyme médical de mobilité pour ce qui concerne le mouvement propre d’un organe.

Est un synonyme exact pour une articulation ou pour tout ce qui concerne les mouvements de deux organes en relation, moins pour les mouvements que peut faire un seul organe tel l’estomac.

• Nos anciennes dépendances se transforment en addictions sous la pression anglo-saxone.

P.S. 2 – Les variantes orthographiques répondent à la question :

orichalque = aurichalque

Quel est l’intérêt de savoir qu’un mot peut s’écrire de deux façons différentes pour le qualifier de synonyme exact ?

Dans l’exemple trouvé ils se prononcent pareille : on découvre un synonyme homonyme…
… pas de quoi faire une déclaration à l’Académie française pour relever un doublon typographique !

… Bon,j’arrête de tondre les œufs.

L’emprunt et une réalité linguistique particulière peuvent créer une concurrence. Par exemple, si la question s’était posée dans une classe au Québec, on aurait pu aisément identifier la toast et la rôtie pour la tranche de pain grillée ; non seulement interchangeables mais aussi de même genre grammatical. Ailleurs la rôtie est vieillie (ou régionale) et on a le toast au masculin pour cette même tranche de pain grillée (et la proposition de boire à la santé, masculin partout, porter un toast).

L’étymologie diffère assurément. La/le toast (pain), de la tostee (de tostare, sur tostus de torreo : dessécher, griller) en français (13^e) prêtée à la langue anglaise, puis réempruntée pour la tranche de pain au 19^e. Et la rôtie (rostie, 13^e), le participe passé de rôtir, un germanisme, de raustjan « rôtir », de l’ancien haut allemand rôsten, allemand rösten, moyen néerlandais roosten (TLFi). Ça répond aux critères de la question mais strictement en français québécois ; quoique la concurrence d’autres emprunts avec des mots en usage soit possible et constitue peut-être une piste de solution. J’ai pensé aussi aux canneberges et aux atocas (iroquoien), mais ces derniers pas très usuels avec le jus…