Certaines de vos propositions fonctionnent bien à mes yeux, notamment le verbe "balancer".

Je propose :

Pauvre chat, il est secoué dans tous les sens.

From the Larousse definition:

Imprimer de brusques mouvements à quelque chose, à quelqu’un […]

Je trouve qu’on retrouve donc bien l’idée des mouvements "sans ménagement" que subit le pauvre animal entre les mains d’enfants peu précautionneux.

D’autres verbes pourraient fonctionner : balader, traîner (un peu comme un sac), balloter (proposé par @jlliagre)…

Inspiré d’une autre réponse, au Québec je dirais :

Pauvre chat, il se fait brasser.

Un peu de même sens que secouer, mais signifiant aussi malmener, ce dernier verbe pouvant aussi faire l’affaire. Je préfère la construction réflexive à valeur passive avec le verbe faire. La référence au sens, positions et directions est inutile ici à mon avis. Par ailleurs il peut être utile pour les parents de rappeller à leur enfant qu’un animal n’est pas un jouet mais bien un être sensible (QC : intro., CCQ ; FR : intro., CC), ce qui doit induire un comportement adapté.