Le verbe peiner signifie “avoir du mal/des difficultés”. Il est distinct de l’expression à peine, bien que les deux aient à même étymologie (du latin poena, poenae, signifiant punition, ou châtiment).

La raison pour laquelle ce n’est pas présent en tant expression idiomatique et donc que peine à est simplement la conjugaison du verbe peiner.

Quand quelqu’un peine à [X], il a du mal à [X]. En anglais, on le traduira généralement par struggle to [X].

Il s’agit ici du verbe peiner (à) qui est veut dire avoir de la peine (à) / du mal (à) / des difficultés à / faire quelque chose. Autrement dit la phrase veut dire que la presse britannique a du mal / des difficultés à voir dans la présidentielle française autre chose que l’irrésistible ascension de Mme Le Pen.

D’autres exemples d’emploi :

Je peine à marcher à cause de mon entorse.

Mon fils peine toujours à faire ses exercices de maths.

La différence entre peiner à et avoir du mal à est essentiellement stylistique : peiner à est d’un niveau de langue plus élevé.

Peiner (transitif et construit sans la préposition à) peut aussi avoir un autre sens : faire de la peine à quelqu’un, chagriner :

Cette nouvelle l’a beaucoup peiné.

Il n’y a pas de rapport avec la locution adverbiale à peine qui effectivement peut se traduire par hardly en anglais.

Peine is related to ‘pain’ in English, as in ‘suffering’. It can become more extreme ‘punishment’ as in ‘peine de mort’.
Peiner a faire quelque chose veut dire avoir du mal a le faire. A peine however does mean hardly, almost – I guess similar to “you’d be hard-pressed to see a difference”?
Note that ‘a peine’ is still used commonly, while ‘peiner a’ is fast fading into literary history.