Personnellement, je trouve la formule Peu m’importe que peu naturelle lorsqu’elle est suivie par un autre bout de phrase ; contrairement à Que m’importe que.

Je dirais donc :

Que m’importe qu’il fasse beau ou non, j’irai jouer au tennis.

Mais pas :

Peu m’importe qu’il fasse beau ou non, j’irai jouer au tennis.

Cependant, il me parait correct d’utiliser Peu m’importe que en terminant directement la phrase comme ceci :

Peu m’importe qu’il fasse beau ou non !

Dans ce dernier cas, on peut dire que Peu m’importe que et Que m’importe que peuvent avoir le même sens :

Peu m’importe qu’il fasse beau ou non !

aura donc le même sens que :

Que m’importe qu’il fasse beau ou non !

Le petit Robert range sous la même explication les deux termes : dans des locutions interrogatives ou négatives qui marquent l’indifférence à l’égard d’une chose sans importance, sans conséquence.

L’académie française :

Dans les expressions Qu’importe et Peu importe, qui servent à marquer
l’indifférence que l’on a ou que l’on doit avoir pour une chose, le
peu de cas que l’on en fait ou que l’on doit en faire.

Sans aucune valeur définitive, on peut essayer de faire une différence en s’accrochant aux racines de peu et de que[lconque] :

• peu m’importe : il y a peu de choses pour lesquelles j’ai de l’indifférence (les autres “n’existent même pas”).
• que m’importe : quelles que soient les choses qui existent (dans le domaine dont on parle) cela ne m’influencera pas.

On peut ainsi envisager :

• le peu m’importe comme une réponse à un (ou en prévision d’un) argumentaire (une personne) que l’on juge insignifiant,
• le que m’importe comme un argumentaire absolu qui ignorera toute contradiction, même venue d’une personne faisant autorité dans le domaine concerné.

• Vous dites que c’est la nouvelle lune, peu m’importe ces chimères astrales, ces broutilles !
• Que m’importent les réponses du maître, je ferai ce qui est prévu, et jusqu’au bout !

Cela pourrait être une indication pour une pièce de théâtre où les intonations ne seront pas les mêmes si l’on intervertit peu et que.

Mais tout cela reste dans le domaine de l’oralité, de la subjectivité.