Je dirais la deuxième :

Que pourrais-je faire d’autre ?

La première n’utilise pas le pronom attendu¹. Ce qui se dit et s’écrit :

Quoi d’autre pourrais-je faire ?

Ces deux formes, utilisant des inversions, sont soutenues. On pourrait les lire dans un roman mais peu de chance de les entendre prononcer spontanément.

À l’oral, on entendra plutôt :

Qu’est-ce que je pourrais faire d’autre ?

ou plus relâché :

Je pourrais faire quoi d’autre ?

Voir aussi: Que ou quoi + infinitif

¹ _{Le fait d’avoir deux pronoms interrogatifs, quoi et que, pour un même sémantisme, complexifie les données. L’un épouse les caractéristiques des pronoms conjoints alors que l’autre suit les propriétés des pronoms disjoints. De même que les pronoms conjoints, que doit se trouver juxtaposé au verbe conjugué et ne peut s’en trouver séparé que par un autre élément clitique, comme la négation ne.
Florence Lefeuvre, Analyse grammaticale et sur corpus de l’expression c’est
quoi (?), 2015}