Je ne suis pas l’auteur de la réponse, mais ce serait lié à une ancienne prononciation de Anne, qui serait Ânne.

Il s’agit d’une vieille prononciation française que le Québec a
conservée, comme beaucoup d’autres traits du français des XVIIe et
XVIIIe siècles. Ce «a postérieur», comme l’appellent les linguistes
parce qu’il est prononcé plus à l’arrière de la bouche que le «a
antérieur» (celui de patte, par exemple), n’existait pas en latin et
n’est apparu que lorsque nos ancêtres médiévaux cessèrent de prononcer
certaines consonnes placées à la fin des syllabes, explique Claude
Poirier, professeur de linguistique à l’Université Laval. Cela eut
pour effet d’allonger la voyelle précédant la consonne abandonnée, ce
qui, pour certains mots du moins, a débouché sur notre fameux «â»
national.

Ainsi, le mot âne provient de l’ancien français asne, dont on
prononçait le «s» et dont le «a» était à l’origine antérieur. Le même
phénomène a transformé d’autres mots, comme bastard qui se changea en
bâtard, haste en hâte, etc. C’est vraisemblablement par une sorte de
«contagion» à partir du mot âne que le prénom Anne, qui vient de
l’hébraïque Hannah, a vu sa prononciation muter, dit M. Poirier.

À leur grand dam, à peu près toutes les Anne, Marianne et Anne-Marie
du Québec en ont un jour fait les frais, mais cette prononciation
était autrefois la norme, et personne ne s’en formalisait. Pour tout
dire, même dans les régions françaises de l’Aunis et de la Saintonge
au début du XXe siècle, le mot année se prononçait encore ânnée.

Donc, avant, on disait Ânne. On a donc juste continuer de dire Ânne
avec Ste-Ânne même si on s’est mit à dire Anne avec un a aigu.

Lien ici

Le texte fait référence à un article, dont voici un extrait qui donne des exemples de l’usage;

À leur grand dam, à peu près toutes les Anne, Marianne et Anne-Marie
du Québec en ont un jour fait les frais, mais cette prononciation
était autrefois la norme, et personne ne s’en formalisait. Pour tout
dire, même dans les régions françaises de l’Aunis et de la Saintonge
au début du XXe siècle, le mot année se prononçait encore ânnée.

Et qui ne se souvient pas du refrain de la vieille chanson Marianne
s’en va-t-au moulin, dont les vers ne riment vraiment que si l’on
prononce le prénom de l’héroïne avec un «a» postérieur :

Le loup a mangé l’âne

Ma p’tite mam’zelle Marianne

Le loup a mangé l’âne Catin

Par-derrière le moulin.