Je vois la liaison entre hauteur et argent ainsi :

Tout s’explique quand on sait que les Romains comptaient de bas en haut : la suma linea désignait le total formé par la réunion des éléments d’un compte et, par extension, une somme d’argent, une totalité, un ensemble.

Le mot « somme » est le résultat de l’évolution de deux mots latins, sume et some, issu par évolution phonétique du latin classique summa, abréviation de suma linea qui veut dire la « la ligne du sommet, ligne d’en haut ». Le mot latin summa est le féminin de summus (accusatif summum), qui est le point le plus haut et qui a donné le mot « sommet » en français.

Le mot « montant » vient du verbe « monter » du latin montare (dérivé de mons, élévation, hauteur) qui signifiait « aller vers le haut ». Le nom anglais amount vient du verbe amount du vieil anglais amounten du vieux français amonter issu du latin montare.

À ma connaissance il n’y a aucun rapport avec la racine mot « haut » (du latin altus, participe passé de alere « nourrir, faire grandir ») et la suma linea, si ce n’est que par périphrase la ligne du sommet est bien celle qui se trouve en haut. Le lien est sémantique, pas étymologique.

^{Source sur les données étymologiques : Dictionnaire historique de la langue française, sld Alain Rey, ed. Le Robert.}

Amount > montant. Same origin.

Sum > Somme. Same origin.
Montant will often go with a number : acheter .X..pour un montant de 500.O00 €.

You can say acheter .X.. pour la somme de 500.000 €, which feels a bit more like a total, a sum, rather than just a figure.

You can play with them in combination with adjectives not related to maths, without numbers: example « un montant exorbitant »; « des sommes folles » both meaning ludicrouly … high amounts of money.

In terms of height, I would think that the two words have more to do with accounting and addition, and, like other answer said, the way the Romans were doing their sums.