Honestly I don’t feel any difference. I’d use both indifferently.

That being said, maybe your feeling is:

1) Tout juste has the idea of despite

Malgré le fait que je vienne tout juste de l’apprendre, il semblerait que…

Despite I’ve just heard about it…

2) à peine has the idea of because

Parce qu’on venait à peine de se rencontrer, alors tu n’allais pas me demander…

It’s because we’ve just met than you can’t ask me…

J’aurais été tenté de croire que les deux étaient équivalents, mais il existe au moins quelques cas où ils diffèrent, et ces cas sont intéressants pour tenter de cerner la nuance particulière de l’un et de l’autre.

J’ai tout juste compris la démonstration → je l’ai comprise, mais j’ai dû fournir un effort et j’aurais très bien pu ne pas réussir à établir quelques liens qui s’avérèrent cruciaux à la compréhension.
J’ai à peine compris la démonstration → j’ai compris qu’il s’agissait d’une démonstration, j’en ai compris quelques éléments, mais le gros de l’information m’a échappé.

Les deux exemples donnés dans le message original font cependant une utilisation temporelle des expressions (ce qui n’est pas le cas de mon exemple), et chacune de leurs deux versions est selon moi correcte et utilisable. La nuance me semble très subtile: tous deux indiquent un court laps de temps, mais peut-être que tout juste insiste un peu plus sur la brièveté de la durée écoulée (allusion à un passé très récent), et à peine un peu plus sur une certaine insuffisance de cette durée (tout est nouveau, on réserve un jugement final pour plus tard).

Un cas, tout de même, où la différence pourrait modifier substantiellement l’interprétation d’un auditeur:

Je viens tout juste de terminer mes études → Je suis maintenant disponible au travail, diplôme en poche, la vie professionnelle m’attend!
Je viens à peine de terminer mes études → Je suis diplômé, mais je n’ai peut-être pas toutes les qualifications que confère l’expérience, soyez indulgent…