L’orthographe traditionnelle est « sûrement », les rectifications orthographiques de 1990 (présentées de manière plus accessibles ici) recommandent « surement ».

La rectification supprime les accents circonflexes sur « i » et « u » sauf pour les terminaisons verbales du passé simple, du subjonctif et dans cinq cas d’ambigüité (dû, mûr et sûr, jeûne(s) et les formes de croitre qui, sans accent, se confondraient avec celles de croire).

Les deux sont corrects.

Tu peux utiliser ce que tu veux, c’est juste que surement c’est à dire sans accent circonflexe représente la nouvelle orthographe du mot. Mais « surement » et « sûrement » sont tous les deux corrects.

Seul “sûrement” est correct. Avec un accent circonflexe.

La règle est simplement la suivante : adjectif sûr(e) => sûrement.

Par ailleurs, l’adjectif “sur(e)” existe en français, mais il n’a rien à voir, il signifie “acide, aigre”. Cf. https://fr.wiktionary.org/wiki/sur#Adjectif

L’ancienne forme, toujours utiliser l’ancienne forme, sinon tu passes pour ne pas connaître l’orthographe 😉

Je ne suis pas un locuteur natif mais j’ai appris le français comme langue étrangère (FLE) et je travaille dans une université. J’ai donc un accès illimité aux ouvrages scientifiques et aux livres du supérieur (concours, classes préparatoires, etc.).

Bien que les ouvrages pour les écoliers respectent l’orthographe rectifiée les ouvrages destinés au niveau après le lycée (supérieur, concours, etc.) ne respectent pas toujours la reforme de 1990. Même les livres du français voire les livres des sciences comme les maths, la physique. la chimie, etc.

Par ailleurs, même le Certificat Voltaire qui vérifie le nouveau d’orthographe demeure encore élastique sur cette situation comme l’on peut voire à cette réponse à sa foire des questions :

https://www.projet-voltaire.fr/a-la-une/questions-projet-voltaire-reforme-orthographe/