Certains de nos patients de l’étranger…

→ Dans cette phrase étranger est un nom qui désigne un lieu. Étranger c’est ce qui n’est pas le pays d’où je parle. Une phrase qu’on peut lire en ce moment dans la presse française :

Les Français de l’étranger ont voté samedi et dimanche pour le premier tour des législatives.(Par exemple sur 20 Minutes)

→ Il s’agit des Français qui résident hors de France. Dans ta phrase, il s’agit de patients, on peut éventuellement comprendre que les patients viennent de l’étranger, qu’ils sont ou non japonais, mais on peut aussi comprendre qu’il s’agit de patients qui résident hors du Japon, et ils peuvent être japonais ou non.

Donc pour éviter toute ambiguïté il vaut mieux employer la deuxième phrase.

Certains de nos patients étrangers choisissent…

→ où étranger est un adjectif. Les patients sont étrangers au Japon, ne sont donc pas de nationalité japonaise mais résident en ce moment au Japon.

Si tu dis :

Nos patients venant de l’étranger…

c’est tout aussi ambigu qu’en anglais car on ne sait pas si les patients sont japonais ou non.

Vos 2 phrases françaises sont aussi ambiguës que les phrases (your 2 sentences are as ambiguous as) :

Our patients from a foreign country...   
Our foreign patients...

Levez donc l’ambiguïté comme vous le faites en anglais, par exemple (you can simply say in french what you said in english):

Nos patients non japonais qui viennent de l’étranger dans le
seul but de pour se faire soigner …

Your second English phrase has a nuance that (2) in French doesn’t: “who already live in Japan”.

The concept of resident comes to mind (same word in French and English).

Nos patients étrangers résidents japonais

or

Nos patients étrangers résidant au Japon

(from résider)

I think that this vs.

Certains de nos patients venus de l’étranger [pour des soins]

pretty much covers the two mutually exclusive situations you want to contrast.