À considérer les commentaires sur la question posée et les illustrations littéraires érudites données, je proposerais volontiers l’explication suivante :
Les deux variantes « Si…+ indicatif et que + indicatif » et « Si…+ indicatif et que + subjonctif » se différencient par l’accent porté ou non sur la conditionnalité du second élément par rapport au premier.

Je précise : dans le premier cas, les deux propositions (partir sans parapluie) et (il pleut) sont mises sur le même plan. Dans la seconde, on introduit une subtile subordination : « Si je pars sans parapluie et que dans ce cas il pleuve… ». Le second élément suppose la réalisation du premier (voir l’exemple avec le bac et la mention), ce qui amène l’usage du subjonctif.

C’est finaud, rare, mais superbe stylistiquement…

On peut considérer les deux parties de manière un peu distincte:

• la première: si je sors, ou si je sortais

A le que de la deuxième est synonyme de s’il arrive que

• la deuxième est équivalente à : s’il arrive (ou s’il arrivait) qu’il pleuve => subjonctif

B le que de la deuxième est une sorte de conjonction : synonyme de et si

• la deuxième est équivalente à : s’il pleut => indicatif

Le cas A suppose que le phénomène est lié à la sortie.

le cas B est une conjoncton plus simple.

Explication proche de celle de Chambaron.

Et après il faut aussi avoir des temps compatibles.

Autres cas

avant que => subjonctif: avant qu’il ne vienne

après que => indicatif ou subjonctif si la proposition est sûre ou incertaine

afin que => plutôt subjonctif

Il y en a certainement bien d’autres …